【斐波那挈數列通項公式的推導】

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斐波那契數列：1，1，2，3，5，8，13，21……

如果設f(n)為該數列的第n項(n∈n+)。那麼這句話可以寫成如下形式：

f(1)=f(2)=1,f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n≥3)

顯然這是一個線性遞推數列。

通項公式的推導方法一：利用特徵方程

線性遞推數列的特徵方程為：

x^2=x+1

解得

x1=(1+√5)/2,x2=(1-√5)/2.

則f(n)=c1*x1^n+c2*x2^n

∵f(1)=f(2)=1

∴c1*x1+c2*x2

c1*x1^2+c2*x2^2

解得c1=1/√5，c2=-1/√5

∴f(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}【√5表示根號5】

通項公式的推導方法二：普通方法

設常數r,s

使得f(n)-r*f(n-1)=s*[f(n-1)-r*f(n-2)]

則r+s=1,-rs=1

n≥3時，有

f(n)-r*f(n-1)=s*[f(n-1)-r*f(n-2)]

f(n-1)-r*f(n-2)=s*[f(n-2)-r*f(n-3)]

f(n-2)-r*f(n-3)=s*[f(n-3)-r*f(n-4)]

……

f(3)-r*f(2)=s*[f(2)-r*f(1)]

將以上n-2個式子相乘，得：

f(n)-r*f(n-1)=[s^(n-2)]*[f(2)-r*f(1)]

∵s=1-r，f(1)=f(2)=1

上式可化簡得：

f(n)=s^(n-1)+r*f(n-1)

那麼：

f(n)=s^(n-1)+r*f(n-1)

=s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*f(n-2)

=s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*s^(n-3)+r^3*f(n-3)

……

=s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*s^(n-3)+……+r^(n-2)*s+r^(n-1)*f(1)

=s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*s^(n-3)+……+r^(n-2)*s+r^(n-1)

（這是一個以s^(n-1)為首項、以r^(n-1)為末項、r/s為公差的等比數列的各項的和）

=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)

=(s^n-r^n)/(s-r)

r+s=1,-rs=1的一解為s=(1+√5)/2,r=(1-√5)/2

則f(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}