A的伴隨矩陣仍是正交矩陣。伴隨矩陣通常用A*表示。

正交矩陣的充要條件:

A正交 A"A = AA" = E A^-1 = A" (其中A"是A的轉置矩陣)。

證明:

由A是正交矩陣 AA" = E（E是全是1的同階矩陣）

而 |A|^2=|A||A"|=|A"A|=|E|=1

所以 |A| = ±1

由 A* = |A|A^-1

所以 A*=±A^-1

所以 (A*)"A* = (±A^-1)"(±A^-1) = (A^-1)"(A^-1)= (A")"A" = AA" =E

所以 A*是正交矩陣。

擴充套件資料：

伴隨矩陣的性質：

（1）A可逆當且僅當A*可逆；

（2）如果A可逆，則

（3）對於A*的秩有：

伴隨矩陣的求法：

（1）當矩陣是大於等於二階時：

主對角元素是將原矩陣該元素所在行列去掉再求行列式，非主對角元素是原矩陣該元素的共軛位置的元素去掉所在行列求行列式乘以

x、y為該元素的共軛位置的元素的行和列的序號，序號從1開始。主對角元素實際上是非主對角元素的特殊情況，因為x=y,所以

一直是正數，沒必要考慮主對角元素的符號問題。

（2）當矩陣的階數等於一階時，伴隨矩陣為一階單位方陣。

（3）二階矩陣的求法口訣：主對角線元素互換，副對角線元素加負號。