微積分中的確有求任意曲線長度公式（前提是這個曲線可求長）：
L = ∫ √(dx²+dy²)
這公式看著眼熟嗎？中間的被積函式不就是
c=√(a²+b²)
勾股定理的形式嗎？！
沒錯，它是勾股定理的微分版本，此公式本身就是勾股定理的推論。
迴圈論證，這樣不好。
勾股定理，是一個很基礎但又很深刻的定理，它描述的是“歐氏空間”裡的一個性質，這貨如果擱別的空間裡，估計只能喝西北風了。所以要想理解它，必須從空間入手；只有明確在怎樣的環境中，談論勾股定理才有意義。
在現代數學中，我們要首先要引入歐氏空間的概念。
歐氏空間
歐氏空間就是在向量空間中定義了內積(•,•)，它是從向量空間到實數域上的二元函式，滿足以下條件:
• 對稱性：
(a,b)=(b,a)
•（雙）線性：
(ka+lc,b)=k(a,b)+l(c,b)
•正定性：
(a,a)>=0, 等號成立當且僅當a為零向量
以上係數皆屬實數域。
順便我們將的向量a的模長|a|定義為:
|a|=√(a,a)
正交
有了內積的定義，我們就可以定義何為兩個向量的夾角、正交的概念。
兩向量夾角餘弦:
cos<a,b>=(a,b)/(|a|•|b|)
特別的，當兩向量正交(垂直)時，有
(a,b)=0
此兩者互為充要條件。
注意，此處的餘弦不再是我們熟知的餘弦，而是在內積定義下對餘弦的一個推廣。如果定義(a,b)=t(a)•b ，t 為轉置運算，即a與b對應元素的乘積再求和，於是就退化為我們所熟知的內積。
勾股定理的證明
命題(勾股定理)
已知：歐氏空間中兩向量a,b正交，命c=a+b
求證:|c|²=|a|²+|b|²
證明:由模長定義、以及雙線性，
|c|²=(a+b,a+b)=(a,a)+(a,b)+(b,a)+(b,b)
因為a,b正交，即(a,b)=(b,a)=0
故
|c|²=(a,a)+(b,b)=|a|²+|b|²
Q.E.D
各位童鞋，我講的通俗易懂嗎？
微積分中的確有求任意曲線長度公式（前提是這個曲線可求長）：
L = ∫ √(dx²+dy²)
這公式看著眼熟嗎？中間的被積函式不就是
c=√(a²+b²)
勾股定理的形式嗎？！
沒錯，它是勾股定理的微分版本，此公式本身就是勾股定理的推論。
迴圈論證，這樣不好。
勾股定理，是一個很基礎但又很深刻的定理，它描述的是“歐氏空間”裡的一個性質，這貨如果擱別的空間裡，估計只能喝西北風了。所以要想理解它，必須從空間入手；只有明確在怎樣的環境中，談論勾股定理才有意義。
在現代數學中，我們要首先要引入歐氏空間的概念。
歐氏空間
歐氏空間就是在向量空間中定義了內積(•,•)，它是從向量空間到實數域上的二元函式，滿足以下條件:
• 對稱性：
(a,b)=(b,a)
•（雙）線性：
(ka+lc,b)=k(a,b)+l(c,b)
•正定性：
(a,a)>=0, 等號成立當且僅當a為零向量
以上係數皆屬實數域。
順便我們將的向量a的模長|a|定義為:
|a|=√(a,a)
正交
有了內積的定義，我們就可以定義何為兩個向量的夾角、正交的概念。
兩向量夾角餘弦:
cos<a,b>=(a,b)/(|a|•|b|)
特別的，當兩向量正交(垂直)時，有
(a,b)=0
此兩者互為充要條件。
注意，此處的餘弦不再是我們熟知的餘弦，而是在內積定義下對餘弦的一個推廣。如果定義(a,b)=t(a)•b ，t 為轉置運算，即a與b對應元素的乘積再求和，於是就退化為我們所熟知的內積。
勾股定理的證明
命題(勾股定理)
已知：歐氏空間中兩向量a,b正交，命c=a+b
求證:|c|²=|a|²+|b|²
證明:由模長定義、以及雙線性，
|c|²=(a+b,a+b)=(a,a)+(a,b)+(b,a)+(b,b)
因為a,b正交，即(a,b)=(b,a)=0
故
|c|²=(a,a)+(b,b)=|a|²+|b|²
Q.E.D
各位童鞋，我講的通俗易懂嗎？