反證法的本質就是邏輯的排中律，也就是“A推B則非B推非A”（逆否命題等價），這是數理邏輯的基礎原則之一，你說翻看數理邏輯，應該第一章就會講到。

數學家和邏輯學家對排中律的懷疑從兩千多年前邏輯學在古希臘誕生之初就開始了，但離開這個強大的工具，大量數學問題都將寸步難行。

最基礎的，數學歸納法，學過中學數學特別是有過奧數經歷的人一定都極為熟悉，而數學歸納法本身的合法性就必須依賴排中律（反證法）來證明。

兩千多年前，古希臘人發現了√2不是有理數，亞里士多德給出的迄今仍是標準答案的證明，也是反證法。

不過一直到19世紀末之前，直接的構造性證明仍然是數學界的主流，反證法是輔助性的。但康托爾的橫空出世改變了一切，整個集合論，幾乎全是反證，大量問題都在完全沒有構造的情況下被判定，這引起了數學界的極大恐慌。

“你有病，我沒檢查出你哪裡有病，甚至根本就沒做任何檢查，但透過邏輯，我可以百分百的判定：你有病！”

這種感覺無疑是非常不好的，而且引發了一系列的悖論，以康托爾自己的老師克羅內克和龐卡萊為首的數學權威對康托爾的集合論進行了激烈的批評，很多人覺得正是排中律把這種“墳墓中的鬼氣”帶到了數學中。

不幸的康托爾，最後真的精神分裂了，真的病入膏肓了。

稍後，奧地利數學家哥德爾又證明了這種排中律導致的悖論等價於另一種描述：公理體系的嚴謹性和完備性不可得兼（哥德爾大定理）。值得一提的是，哥德爾的證明本身也是反證法，也是沿用了康托爾首創的對角線方法。

哥德爾定理直接宣告了數學界另一派，希爾伯特鼓吹的形式主義派的理想破滅。不過希爾伯特人很大氣，立刻就接受了這一現實，並對哥德爾大加讚賞。

至此，我們已經清楚的看到，邏輯學本身，作為一切數學的基礎，其實並不完美，不管有沒有排中律。

直覺主義反對排中律，主要是在涉及無窮的時候，他們認為，當討論的物件是無窮時，排中律不一定有效，有些涉及無窮的的問題，不一定就是非對即錯，也可能有第三種可能，即該命題的錯或者對，無法證明。例如，兀的小數表示式3.145926……中，有7個連續的1，即兀＝3.1415926……1111111……這個命題，就無法證明其錯對。加果兀的小數表示式是有限的，則這個命題很容易證明，我們把這個小數表示式全部寫出來，就知道其中有沒有7個連續的1，但兀是一個無限不迴圈小數，所以，無法證明該命題究竟是對是錯。

正面的構造性證明，一般會被認為是“最好的”證明。數學家往往是先猜到或者發現某種條件下有某某事實成立，所謂“猜想”。然後，再另外想辦法證明是對的。但凡能給正面的證明，肯定考慮正面的了。並且正面的證明越簡短，一般肯定也越難，因此越體現出數學家的能力。如果實在很長，往往分成一系列邏輯推理的鏈條。

“反證法”這種辦法，的確是不得已而為之的辦法。

不過，雖然反證法的確非構造性，但在邏輯上，“反證法”是有堅實的理由的。就是所謂的“命題與其逆否命題同時成立（或者同時不成立）”。也就是命題與其逆否命題在邏輯上完全等價。說起來，就是“條件A推出結論B”等價於“條件非B推出結論非A”。逆否命題就是條件和結論交換位置，並且同時否定。

比如，容易理解的例子，你同意“如果一種東西是狗，那麼它是一種哺乳動物”這件事成立，一定也同意其逆否命題“一種東西，如果不是哺乳動物，那麼它一定不是狗”。

雖然可能說起來拗口，但邏輯上是沒有漏洞的。反證法在邏輯上是無懈可擊的。