有個函式影象，你明明知道存在，也知道大概什麼樣子，就是畫不出來？ 有個函式影象，是週期函式，但不是常值函式，卻沒有最小正週期？ 有個函式影象，處處不連續，處處不可導，任何區間不可求定積分？
這三個問題的答案，你都知道嗎？
其實答案是同一個函式。讀完下面關於美麗函式的介紹，你就明白了。
數學中有很多函式性質獨特，令人歎為觀止。選取比較有代表性的，逐一進行解釋。
一、心形曲線。函式的圖形是心形，非常浪漫。據說，經常被理科生拿來向心儀的女孩表白。這類曲線的函式解析式或者曲線方程有多種表達方法。
1、二次曲線型。類似於x^2 –|x|y + y^2 = 4的。可在|x|y前加一個小於2的係數，
如x2 –1.3|x|y + y2 = 4，還可使圖形上部更凸一些。
當然，還可以繼續變形，方程改成一個更加形象的不等式，17 x^2 – 16|x|y + 17 y^2 < 225 。不等式表達的陰影部分就是心形。
2、笛卡爾提出的極座標方程r=a(1-sinθ）。a可以任意取值，最簡單的心形表示式：r = 1 – sinθ。
3、還有一種更簡潔的表達，極座標下的r=arccos(sinθ)。可以說是極座標下最簡潔的表示式了，利用反餘弦和正弦的複合即可。函式影象如下：
4、心形圖還可繼續升級到三維立體中。三維立體座標系下的方程為：(x^2+9y^2/4+z^2-1)^3-x^2z^3-9y^2z^3/80=0。在三維立體座標系下，心形圖更加形象、逼真。
二、分手函式。與心形函式相對應，在心形曲線基礎上衍生出來的，解析式也是在第一種心形解析式上加入了一部分，使得心形圖中出現裂痕。據說，可以作為理科生分手的訊號。曲線方程為：17 x^2 – 16|x|y + 17 y^2 + 150/|5 x + sin(5 y)| < 225。
三、黃金螺旋線，又稱斐波那契螺旋線。以斐波那契數為邊的正方形拼成的長方形，然後在正方形裡面畫一個 90 度的扇形，連起來的弧線就是斐波那契螺旋線。斐波那契數列的遞推公式為F（n）n=F（n-1）+F（n-2）。透過數學證明，可以得出，按照菲波那切數列畫出的曲線，第二個圓的半徑與前一個圓的半徑之比是黃金分割數，在藝術領域具有極高的審美價值，因而又稱為，黃金螺旋線。
黃金螺旋線有很多應用，蘋果的LOGO就是一個典型例子。完全利用黃金螺旋線中的圓就可以拼成最後的蘋果標誌。
四、蝴蝶曲線。
極座標方程為：
引數方程為：
取e約等於2.7，可得函式影象如下：
五、雙螺旋曲線。曲線方程和影象，如下圖。
六、太極曲線。透過以下方程，可以得出，
七、狄利克雷函式。這個函式就是開篇提到的那個答案，這個函式影象算不上多麼美麗，但是性質非常奇妙，而且解析式非常簡單，只要學過實數都能看懂。當x是有理數時，函式值取1；當x取無理數時，函式值取0。解析式如下圖，是個分段函式。
但是，如果你稍微琢磨一下，就會發現，怎麼畫圖都不對，無理數和有理數之間有間隔嗎？比如√2相鄰的是哪個數字呢？細思極恐的感覺。真實的影象，可以說是，只可意會不可言傳。透過嚴格數學定理可知，影象性質上表現為處處間斷，處處不可導，無法求定積分，明明感覺知道它的樣子，卻又無法畫出來。下圖所畫的影象，當然不是準確的，只是感覺上的樣子。
美麗的世界，奇妙的函式！
有個函式影象，你明明知道存在，也知道大概什麼樣子，就是畫不出來？ 有個函式影象，是週期函式，但不是常值函式，卻沒有最小正週期？ 有個函式影象，處處不連續，處處不可導，任何區間不可求定積分？
這三個問題的答案，你都知道嗎？
其實答案是同一個函式。讀完下面關於美麗函式的介紹，你就明白了。
數學中有很多函式性質獨特，令人歎為觀止。選取比較有代表性的，逐一進行解釋。
一、心形曲線。函式的圖形是心形，非常浪漫。據說，經常被理科生拿來向心儀的女孩表白。這類曲線的函式解析式或者曲線方程有多種表達方法。
1、二次曲線型。類似於x^2 –|x|y + y^2 = 4的。可在|x|y前加一個小於2的係數，
如x2 –1.3|x|y + y2 = 4，還可使圖形上部更凸一些。
當然，還可以繼續變形，方程改成一個更加形象的不等式，17 x^2 – 16|x|y + 17 y^2 < 225 。不等式表達的陰影部分就是心形。
2、笛卡爾提出的極座標方程r=a(1-sinθ）。a可以任意取值，最簡單的心形表示式：r = 1 – sinθ。
3、還有一種更簡潔的表達，極座標下的r=arccos(sinθ)。可以說是極座標下最簡潔的表示式了，利用反餘弦和正弦的複合即可。函式影象如下：
4、心形圖還可繼續升級到三維立體中。三維立體座標系下的方程為：(x^2+9y^2/4+z^2-1)^3-x^2z^3-9y^2z^3/80=0。在三維立體座標系下，心形圖更加形象、逼真。
二、分手函式。與心形函式相對應，在心形曲線基礎上衍生出來的，解析式也是在第一種心形解析式上加入了一部分，使得心形圖中出現裂痕。據說，可以作為理科生分手的訊號。曲線方程為：17 x^2 – 16|x|y + 17 y^2 + 150/|5 x + sin(5 y)| < 225。
三、黃金螺旋線，又稱斐波那契螺旋線。以斐波那契數為邊的正方形拼成的長方形，然後在正方形裡面畫一個 90 度的扇形，連起來的弧線就是斐波那契螺旋線。斐波那契數列的遞推公式為F（n）n=F（n-1）+F（n-2）。透過數學證明，可以得出，按照菲波那切數列畫出的曲線，第二個圓的半徑與前一個圓的半徑之比是黃金分割數，在藝術領域具有極高的審美價值，因而又稱為，黃金螺旋線。
黃金螺旋線有很多應用，蘋果的LOGO就是一個典型例子。完全利用黃金螺旋線中的圓就可以拼成最後的蘋果標誌。
四、蝴蝶曲線。
極座標方程為：
引數方程為：
取e約等於2.7，可得函式影象如下：
五、雙螺旋曲線。曲線方程和影象，如下圖。
六、太極曲線。透過以下方程，可以得出，
七、狄利克雷函式。這個函式就是開篇提到的那個答案，這個函式影象算不上多麼美麗，但是性質非常奇妙，而且解析式非常簡單，只要學過實數都能看懂。當x是有理數時，函式值取1；當x取無理數時，函式值取0。解析式如下圖，是個分段函式。
但是，如果你稍微琢磨一下，就會發現，怎麼畫圖都不對，無理數和有理數之間有間隔嗎？比如√2相鄰的是哪個數字呢？細思極恐的感覺。真實的影象，可以說是，只可意會不可言傳。透過嚴格數學定理可知，影象性質上表現為處處間斷，處處不可導，無法求定積分，明明感覺知道它的樣子，卻又無法畫出來。下圖所畫的影象，當然不是準確的，只是感覺上的樣子。
美麗的世界，奇妙的函式！