16世紀末至17世紀初的時候,當時在自然科學領域（特別是天文學）的發展上經常遇到大量精密而又龐大的數值計算,於是數學家們為了尋求化簡的計算方法而發明了對數.在數學史上，一般認為對數的發明者是十六世紀末到十七世紀初的蘇格蘭數學家——納皮爾。 納皮爾當時是一位天文愛好者，為了簡化計算，他多年潛心研究大數字的計算技術，終於獨立發明了對數。
在數學中，對數是對求冪的逆運算，正如除法是乘法的倒數，反之亦然。 這意味著一個數字的對數是必須產生另一個固定數字（基數）的指數。 在簡單的情況下，乘數中的對數計數因子。更一般來說，乘冪允許將任何正實數提高到任何實際功率，總是產生正的結果，因此可以對於b不等於1的任何兩個正實數b和x計算對數。如果a的x次方等於N（a>0，且a不等於1），那麼數x叫做以a為底N的對數（logarithm），記作x=logaN。其中，a叫做對數的底數，N叫做真數。
對數的運算性質：對數函式過定點（1，0），即x=1時，y=0。當0＜a＜1時，在（0，+∞）上是減函式；當a＞1時，在（0，+∞）上是增函式。
對數函式運算性質
一般地，如果a（a>0，且a≠1）的b次冪等於N，那麼數b叫做以a為底N的對數，記作logaN=b，其中a叫做對數的底數，N叫做真數。
底數則要>0且≠1 真數>0
並且，在比較兩個函式值時：
如果底數一樣，真數越大，函式值越大。（a>1時）
如果底數一樣，真數越小，函式值越大。（0<a<1時）
對數函式的運算公式
當a>0且a≠1時，M>0,N>0，那麼：
（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);
（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M)（n∈R）
(4)log(a^n)(M)=（1/n）log(a)(M)(n∈R)
（5）換底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1）
(6)a^(log(b)n)=n^(log(b)a)
設a=n^x則a^(log(b)n)=（n^x）^log(b)n=n^（x·log(b)n）=n^log(b)（n^x）=n^(log(b)a)
(7)對數恆等式：a^log（a)N=N;
log（a）a^b=b，證明：設a^log（a)N=X，log（a)N=log（a)X，N=X
（8）由冪的對數的運算性質可得(推導公式)
1.log(a)M^(1/n)=(1/n)log(a)M，log(a)M^(-1/n)=(-1/n)log(a)M
2.log(a)M^(m/n)=(m/n)log(a)M，log(a)M^(-m/n)=(-m/n)log(a)M
3.log(a^n)M^n=log(a)M, log(a^n)M^m=(m/n)log(a)M
4.log(以n次根號下的a為底)(以n次根號下的M為真數)=log(a)M
log(以n次根號下的a為底)(以m次根號下的M為真數)=(n/m)log(a)M
5.log(a)b×log(b)c×log(c)a=1
16世紀末至17世紀初的時候,當時在自然科學領域（特別是天文學）的發展上經常遇到大量精密而又龐大的數值計算,於是數學家們為了尋求化簡的計算方法而發明了對數.在數學史上，一般認為對數的發明者是十六世紀末到十七世紀初的蘇格蘭數學家——納皮爾。 納皮爾當時是一位天文愛好者，為了簡化計算，他多年潛心研究大數字的計算技術，終於獨立發明了對數。
在數學中，對數是對求冪的逆運算，正如除法是乘法的倒數，反之亦然。 這意味著一個數字的對數是必須產生另一個固定數字（基數）的指數。 在簡單的情況下，乘數中的對數計數因子。更一般來說，乘冪允許將任何正實數提高到任何實際功率，總是產生正的結果，因此可以對於b不等於1的任何兩個正實數b和x計算對數。如果a的x次方等於N（a>0，且a不等於1），那麼數x叫做以a為底N的對數（logarithm），記作x=logaN。其中，a叫做對數的底數，N叫做真數。
對數的運算性質：對數函式過定點（1，0），即x=1時，y=0。當0＜a＜1時，在（0，+∞）上是減函式；當a＞1時，在（0，+∞）上是增函式。
對數函式運算性質
一般地，如果a（a>0，且a≠1）的b次冪等於N，那麼數b叫做以a為底N的對數，記作logaN=b，其中a叫做對數的底數，N叫做真數。
底數則要>0且≠1 真數>0
並且，在比較兩個函式值時：
如果底數一樣，真數越大，函式值越大。（a>1時）
如果底數一樣，真數越小，函式值越大。（0<a<1時）
對數函式的運算公式
當a>0且a≠1時，M>0,N>0，那麼：
（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);
（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M)（n∈R）
(4)log(a^n)(M)=（1/n）log(a)(M)(n∈R)
（5）換底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1）
(6)a^(log(b)n)=n^(log(b)a)
設a=n^x則a^(log(b)n)=（n^x）^log(b)n=n^（x·log(b)n）=n^log(b)（n^x）=n^(log(b)a)
(7)對數恆等式：a^log（a)N=N;
log（a）a^b=b，證明：設a^log（a)N=X，log（a)N=log（a)X，N=X
（8）由冪的對數的運算性質可得(推導公式)
1.log(a)M^(1/n)=(1/n)log(a)M，log(a)M^(-1/n)=(-1/n)log(a)M
2.log(a)M^(m/n)=(m/n)log(a)M，log(a)M^(-m/n)=(-m/n)log(a)M
3.log(a^n)M^n=log(a)M, log(a^n)M^m=(m/n)log(a)M
4.log(以n次根號下的a為底)(以n次根號下的M為真數)=log(a)M
log(以n次根號下的a為底)(以m次根號下的M為真數)=(n/m)log(a)M
5.log(a)b×log(b)c×log(c)a=1