利用初中知識就能證明。原不等式相當於證明

初中應該學過

立即有

然後利用上述等式，得到

補充：題主提到，這裡的n不是整數。需要提及的是，數學圈子裡有個約定俗成的習慣——整數通常用字母m/n/p/q之類表示，其他則一般表示實數（當然，w/z也常用於表示複數），樓主如果不作說明，那麼別人自然使用預設情形。所以，儘量不要單獨自己搞一套，不便於交流；若一定要違反大家的習慣，那就最好說明清楚，免得產生歧義。如果指數為實數，可以用 或者 之類代替 .

——————————————————————————————————————

對於實數 的情況，這就基本上超出了高中的知識範圍。因為對於 為整數、有理數的情況 的定義很容易理解。但 是無理數時，其定義就很不直觀了（因為無理數後面有無窮多位不迴圈的小數）——無理數冪函式定義本身就涉及到無窮——既然涉及到無窮，就進入了高等數學範疇，自然就要用到極限之類的知識（導數、無窮級數）。

上面證明了n為正整數情形，接下來只需要證明 為正有理數情形和正無理數情形即可。

對於n為有理數，即當 （ 且為整數）時，原不等式等價為

令 ，故需證 ，注意到 且為整數，故將 視為 個 和 個 的乘積，然後利用均值不等式,有

得證。

同樣，當n為無理數時，可以將其視為十進位制下的無窮級數，於是 ，這裡的 為不超過 的最大正整數， 為正有理數。於是只需要證明無窮乘積 收斂即可，取對數後變為 ，顯然無窮級數 收斂於 ，故無窮乘積收斂於 .

接下來利用前面的正整數和有理數情形的結論，可得

故無窮個不等式相乘得（因為已經證明了收斂，故可以相乘；上面不等式右端都大於1，故相乘後不等號方向不變） 得證。

綜上可知，n為大於1的實數， 時，原不等式成立。

上面這種繞彎子的方法仍然避開不了高等數學裡面關於無窮的內容，所以還不如直接使用高等數學知識來證明。