簡諧振動在物理學中是非常重要的，有些人甚至說物理學家只研究簡諧振動（勻速直線運動太簡單了，不是簡諧振動的運動又太難了），同一系列的推導會在後續的學習中反覆出現，比如學量子力學的時候還會推一編（簡諧振子的量子化），學固體物理的時候還會推一編（聲子），學量子場論的時候還會推一編（電磁場的量子化）……

現在我們在高中物理（牛頓力學）的知識背景下進行推導。

假設有一根彈簧，彈簧的彈性係數是k，彈簧的一端是質量為m的滑塊，假設彈簧和滑塊是水平放在桌面上的（忽略摩擦），這樣我們就不需要考慮滑塊本身重量對彈簧的拉長了。

假設我們不對滑塊施以任何力，此時滑塊會位於一個“平衡”位置不動，我們假設這個位置是0，即座標的原點。

現在假設我們水平地向右拉動滑塊到x位置，彈簧被拉長了x，彈簧的彈性力是-kx，負號表示彈力和x的方向正好相反。

根據牛頓第二定律，此時滑塊的運動由這個方程描述：F=ma，即：

在上式中我們已經把滑塊的運動表示成了一個“二階常微分方程”，二階常微分方程的求解需要知道兩個初始條件，在這裡我們可以假設t=0時，滑塊的位置是a，滑塊的速度是0。

我們把上面的二階常微分方程寫成更好看的樣子：

我們一般把k/m改寫為：

“x上面有兩點”，表示的是x對時間t求兩次導數：

我們要求的就是x(t)，即位置x隨時間t變化的規律。

現在考慮試探解：

這裡A和φ是兩個待定係數。

x對時間求一次導數：

繼續再求一次導數：

我們發現這樣的x(t)就是我們要找的解，而且是個通解，因為裡面有兩個待定係數，正好可以用初始位置x(0)和初始速度v(0)來確定。

針對我們這裡的初始條件，x(0)=a，v(0)=0，我們得到的解是：

既然是簡諧振動，那複數不是更方便？設x=ae^（iωt）

-kae^（iωt）=m（iω）^2ae^（iωt）

ω^2=k/m

x=ae^（i√(k/m)t）

維基百科的定義如下：

簡諧運動，或稱簡諧振動、諧振、SHM（Simple Harmonic Motion），即是最基本也是最簡單的一種機械振動。當某物體進行簡諧運動時，物體所受的力跟位移成正比，並且力總是指向平衡位置。

簡諧運動中的彈簧振子是最常見的例子之一。

彈簧連線的小球在平衡點兩側的點A和B之間來回運動。

公式推導第一步是將彈簧的力和小球M的運動相關聯。這就用到兩個定理：胡克定律和牛頓第二定律。

上述公式中的負號請參見動態圖中的箭頭指向，它表明力的方向永遠與形變方向相反。

而牛頓第二定律成功的將力與加速度連線在了一起。

這時候會第一次用到微積分，形變數 x 的一階導數為小球運動的瞬時速度，而二階導數則是小球運動的加速度。

上圖中最後的運動公式即使推導的關鍵，我們假設 k/m = ω^2。

ω代表的是角速度，之後詳細講解。

推導的過程如下：

二階導數轉換是第一個難點

而之後將x做三角代換是第二個難點。

ω的物理意義是角速度，剛開始接觸很難理解，但是結合上述動圖，你就可以輕而易舉的找到ω的位置。由於簡諧運動遵從三角函式，我們將彈簧的運動理解成B點在圓上的運動，那麼ω則是B點運動的角速度。這樣是不是很容易理解

動圖教學可以讓知識的理解更加簡單。