首先重新敘述一下題主的問題，對於邊長為1的正n邊形X，任意的兩個邊長為x,x<1,的正n邊形A,B都不可能覆蓋X。先說結論，這個命題是對的，這樣的覆蓋也確實是不存在的。以下反設A,B覆蓋了X.對於邊數討論，如果n為奇數，即n=2k+1時，這個證明是容易的.稱X的兩個頂點P,Q為最遠點對，如果P,Q的距離恰好是X中任意兩點的最大距離.舉個例子.在正三角形中，任意兩個頂點都是最遠點對，而在正2k+1邊形中，每個頂點和相對的邊的兩個頂點都成為最遠點對.事實上，在這2k+1個頂點中，總共能形成2k+1個最遠點對.那麼，既然A和B覆蓋了X，必然也覆蓋了X的2k+1個頂點，根據抽屜原理，不妨設A包含了X的至少k+1個頂點。Claim:在這k+1個頂點中，一定有兩個頂點是最遠點對。如果claim成立，那麼匯出矛盾的是容易的，因為這兩個點的距離是X中的任意兩點的最大距離，那麼必然大於A中任意兩點的距離，但是這兩個點都位於A中，就構成了一個矛盾.claim的證明並不複雜。以n=7為例作一下說明。此時，A至少包含了X的4個頂點。X及X的7個頂點如下圖反設A不包含最遠點對。不妨設，那麼和都是最遠點對，根據反設，都不在A中。除去外，A還至少包含了3個頂點，而這3個頂點分佈於中。下面用抽屜原理，由於都是最遠點對，因此必然有一對完整地包含在A中，矛盾。因此claim成立。n=2k的情況就比較複雜了。現在還沒想到一個像上面那麼直白的證法。只考慮頂點肯定是不夠的，還要考慮邊的說。類似上面的證明，可以知道，對於正2k邊形，A和B一定剛好各覆蓋了X的k個頂點，不妨假設X的各個頂點都位於A和B的內部（否則可以將A和B略微放大一點點）。現在來看X的對邊。Claim:對於X的每一組對邊，有且僅有以下兩種情況之一發生：(a)一組對邊中的一條完全包含在A中，另一條完全不落在A中。(b)一組對邊中的兩條邊都有一部分包含在A中，並且這兩部分都是線段，長度之和小於X的邊長1.並且對於X的所有對邊組，(a)不會總成立.舉個例子。比如正方形。綠色邊就是(a)情形，藍色邊就是(b)情形。還是類似上面，如果claim成立的話，那麼每一組對邊在A中的長度和小於等於1，並且"等於"當且僅當(a)成立，而(a)不會總成立，因此X的所有邊在A中的長度和嚴格小於X的所有邊的長度的一半。對B也是一樣的。這樣就構成了一個矛盾。下面證明claim.首先，(a)不會總成立是顯然的，否則的話，A就會包含了X的k條邊，因此至少包含了k+1個頂點，這是矛盾的。其次，不會發生一組對邊都完全不在A中的情況，因為這樣就有一組相對頂點完全不在A中，這是矛盾的。下面假設A包含了X的一組對邊的兩條邊的部分，由凸性，這兩部分都是線段。記X的相對頂點距離是，相對邊距離是，A的相對頂點距離是，相對邊距離是.那麼必有.因此這一組對邊的兩條邊的部分在A中的樣子應該如下圖圖有點抽象了，上下分別是正多邊形A的相對頂點和鄰近的對邊，和分別是正多邊形X的對邊被A所截得到的那一部分。圖中，，，.下面要證明，.也就是要證明這樣一個引理：在正多邊形A中，若一對平行線段全部落在A中，並且距離滿足，則這一對平行線段長度之和小於A的邊長x.將向下平移到處，並且將沿著邊平移相同的距離，這樣得到下圖容易證明，此時，因此只需證明.過向引垂線，垂足是，因此.也就是說，和一個定圓相切.記此圓為.由，可知與，都相交.過分別向作切線，記切點分別為.（每個點能向作兩條切線，但是一條已經做出來了，就是.）稍微畫個圖，但是因為點太密集了，沒法把圖畫的很明白，大家腦補一下就好……注意到和都是直角，考慮兩個直角三角形和，她們的斜邊是一樣長的，但是由於與相交，因此點略微靠上一些，也就是.因此.同理，.而在中，.又由切線長定理，.因此.也就是.引理證畢.從而claim成立，從而原命題成立。以上。
首先重新敘述一下題主的問題，對於邊長為1的正n邊形X，任意的兩個邊長為x,x<1,的正n邊形A,B都不可能覆蓋X。先說結論，這個命題是對的，這樣的覆蓋也確實是不存在的。以下反設A,B覆蓋了X.對於邊數討論，如果n為奇數，即n=2k+1時，這個證明是容易的.稱X的兩個頂點P,Q為最遠點對，如果P,Q的距離恰好是X中任意兩點的最大距離.舉個例子.在正三角形中，任意兩個頂點都是最遠點對，而在正2k+1邊形中，每個頂點和相對的邊的兩個頂點都成為最遠點對.事實上，在這2k+1個頂點中，總共能形成2k+1個最遠點對.那麼，既然A和B覆蓋了X，必然也覆蓋了X的2k+1個頂點，根據抽屜原理，不妨設A包含了X的至少k+1個頂點。Claim:在這k+1個頂點中，一定有兩個頂點是最遠點對。如果claim成立，那麼匯出矛盾的是容易的，因為這兩個點的距離是X中的任意兩點的最大距離，那麼必然大於A中任意兩點的距離，但是這兩個點都位於A中，就構成了一個矛盾.claim的證明並不複雜。以n=7為例作一下說明。此時，A至少包含了X的4個頂點。X及X的7個頂點如下圖反設A不包含最遠點對。不妨設，那麼和都是最遠點對，根據反設，都不在A中。除去外，A還至少包含了3個頂點，而這3個頂點分佈於中。下面用抽屜原理，由於都是最遠點對，因此必然有一對完整地包含在A中，矛盾。因此claim成立。n=2k的情況就比較複雜了。現在還沒想到一個像上面那麼直白的證法。只考慮頂點肯定是不夠的，還要考慮邊的說。類似上面的證明，可以知道，對於正2k邊形，A和B一定剛好各覆蓋了X的k個頂點，不妨假設X的各個頂點都位於A和B的內部（否則可以將A和B略微放大一點點）。現在來看X的對邊。Claim:對於X的每一組對邊，有且僅有以下兩種情況之一發生：(a)一組對邊中的一條完全包含在A中，另一條完全不落在A中。(b)一組對邊中的兩條邊都有一部分包含在A中，並且這兩部分都是線段，長度之和小於X的邊長1.並且對於X的所有對邊組，(a)不會總成立.舉個例子。比如正方形。綠色邊就是(a)情形，藍色邊就是(b)情形。還是類似上面，如果claim成立的話，那麼每一組對邊在A中的長度和小於等於1，並且"等於"當且僅當(a)成立，而(a)不會總成立，因此X的所有邊在A中的長度和嚴格小於X的所有邊的長度的一半。對B也是一樣的。這樣就構成了一個矛盾。下面證明claim.首先，(a)不會總成立是顯然的，否則的話，A就會包含了X的k條邊，因此至少包含了k+1個頂點，這是矛盾的。其次，不會發生一組對邊都完全不在A中的情況，因為這樣就有一組相對頂點完全不在A中，這是矛盾的。下面假設A包含了X的一組對邊的兩條邊的部分，由凸性，這兩部分都是線段。記X的相對頂點距離是，相對邊距離是，A的相對頂點距離是，相對邊距離是.那麼必有.因此這一組對邊的兩條邊的部分在A中的樣子應該如下圖圖有點抽象了，上下分別是正多邊形A的相對頂點和鄰近的對邊，和分別是正多邊形X的對邊被A所截得到的那一部分。圖中，，，.下面要證明，.也就是要證明這樣一個引理：在正多邊形A中，若一對平行線段全部落在A中，並且距離滿足，則這一對平行線段長度之和小於A的邊長x.將向下平移到處，並且將沿著邊平移相同的距離，這樣得到下圖容易證明，此時，因此只需證明.過向引垂線，垂足是，因此.也就是說，和一個定圓相切.記此圓為.由，可知與，都相交.過分別向作切線，記切點分別為.（每個點能向作兩條切線，但是一條已經做出來了，就是.）稍微畫個圖，但是因為點太密集了，沒法把圖畫的很明白，大家腦補一下就好……注意到和都是直角，考慮兩個直角三角形和，她們的斜邊是一樣長的，但是由於與相交，因此點略微靠上一些，也就是.因此.同理，.而在中，.又由切線長定理，.因此.也就是.引理證畢.從而claim成立，從而原命題成立。以上。