瀉藥

講道理按題主文字表述，是不存在這樣的函式的。即，不存在一個函式的任意階導都是非零常數。因為如果函式的一階導是常數，那麼任意大於一階的高階導都是零。

題主是不是想問，“是否存在一個函式，在定義域內某一點的任意n階導數等於n”

答案是存在的。下面就構造這樣一個函式。

不妨假設 在 這點滿足“任意n階導數等於n”的性質。實際上，如果一個函式 在 點滿足該性質，則只要設 ，那麼 就在 這點滿足該性質。因此我們的假設不失一般性。

考慮到一個求導公式

很自然地就可以想到

也就是，函式 的n階導數等於n，但是這裡的n是個定值，並不滿足題目中的“任意n階導數等於n”。那麼構造這樣一個函式

假設這個表示式收斂並可逐項求導，那麼對 在 點求n階導，就等於對 展開式中每一項在 點求n階導，結果就是，x的次數不等於n的項求完導都等於零，只剩下x的次數等於n 的這一項求完導等於n，也就滿足了“任意n階導數等於n”的性質。

相信學過級數的同學一眼就能看出來

所以我們假設表示式絕對收斂是正確的。實際上，存在無窮多個滿足要求的函式，他們之間只差一個常數，因此最終得到的函式是

不妨從另一個角度驗證一下。回憶一下萊布尼茲公式

因此可以設 ，其中 ，代入到萊布尼茲公式，得到

如果函式 在 內可以展成泰勒級數，即

然後把 ， ， ， ， 代入得到

然後，顯然（如果有人說這裡還不是顯然的，恕我水平有限。。）

所以

這裡 可以取任意常數。