本文用行列式的幾何意義去解釋行列式的十大性質
一個矩陣的行列式就是一個平行多面體的（定向的）體積，這個多面體的每條邊對應著對應矩陣的列。如果學生得知了這個秘密（在純粹的代數式的教育中，這個秘密被仔細的隱藏了起來），那麼行列式的整個理論都將成為多重線性形式理論的一部分。倘若用別的方式來定義行列式，任何敏感的人都將會永遠痛恨諸如行列式，Jacobian式，以及隱函式定理這些東西。
——俄國數學家阿諾爾德（Vladimir Arnold）《論數學教育》
線上性代數發展歷史中，行列式和矩陣理論有著密切關係。目前來看，線代的書一般單獨拿一章節來介紹行列式，但主要目的是用來推導後面的特徵多項式，求解特徵值。行列式應該是線性代數核心原理推導的結果，而不是用行列式來推導線性代數的核心。否則學生很可能迷糊，覺得行列式很難使用，再在它的基礎上來推導其它，就更令人困惑了。
本文試著給出行列式的意義，在理解意義的基礎上再來看行列式的性質，一切應該更明瞭一些。
如果要求平面上一個平行四邊形的面積來定義一個函式det(A),稱這個函式為行列式，除了寫成det（A），還可寫成絕對值A的形式。其中A的每一行對應著平行四邊形的兩條邊向量，先看函式det(A)滿足的性質，
，det(A)=面積
性質1：如果(a,b)=(1,0),(c,d)=(0,1)則平行四邊形變成正方形，面積=1，A為單位陣，即
性質2：若A有相同的兩行，則det(A)=0.
看一個極端情況，如果(a,b)=(c,d),即向量(a,b)與(c,d)重合，面積肯定為0。
性質3：det(A)對單獨任一行滿足線性關係，即
將（a,b）伸縮t倍，另一條邊不變，面積也伸縮t倍，如下圖：
針對第二個公式圖示如下：
性質4：交換兩行，det(A)變號。
將面積定向處理，右手定則是大家普遍遵守的，因此，行1，行2對應向量的方向滿足右手定則，則定義det(A)為正，否則為負。
利用上面這4個性質，可以求出任意平行四邊形的面積了。
這就是大家熟悉的二階行列式。
沿用行列式的這4個性質，可以將行列式擴充套件，比如求空間平行六面體的體積。
先將行列式的其它6個性質匯出：
性質5：若矩陣中有一行為全0行，則行列式為0.
利用性質3，全0行，提出一個因子0，行列式肯定為0.
性質6：從一行中減去其它行的幾倍，行列式不變。
證明：
性質7：若矩陣A為三角陣，則行列式等於對角元上元素的乘積。
證明：任一矩陣A透過初等行變換（性質5），均可以得到對角矩陣，且行列式不變。
每一行提出因子，
性質8： A是奇異陣且不可逆，行列式為0；反之，行列式不為0。
證明:高斯消元后得到U，A是奇異陣，則U有全0行，行列式為0；A是可逆的，則U的對角元素均不為0，所以行列式不為0。
行列式代表面積（體積），而矩陣A代表線性變換，只有線性變換後，線性空間不降維（行向量線性線性無關），才可以建立一一對映，即可逆。
性質9：矩陣AB的行列式等於A的行列式乘以B的行列式
行列式的含義是面積（體積）的放大倍數，AB可以看成是級聯絡統，級聯絡統的放大倍數等於分別每一級放大倍數的乘積。
性質10：A轉置的行列式等於A的行列式。
行列式的含義是體積的放大倍數，轉置後，體積放大倍數也沒有發生變化。
本文用行列式的幾何意義去解釋行列式的十大性質
一個矩陣的行列式就是一個平行多面體的（定向的）體積，這個多面體的每條邊對應著對應矩陣的列。如果學生得知了這個秘密（在純粹的代數式的教育中，這個秘密被仔細的隱藏了起來），那麼行列式的整個理論都將成為多重線性形式理論的一部分。倘若用別的方式來定義行列式，任何敏感的人都將會永遠痛恨諸如行列式，Jacobian式，以及隱函式定理這些東西。
——俄國數學家阿諾爾德（Vladimir Arnold）《論數學教育》
線上性代數發展歷史中，行列式和矩陣理論有著密切關係。目前來看，線代的書一般單獨拿一章節來介紹行列式，但主要目的是用來推導後面的特徵多項式，求解特徵值。行列式應該是線性代數核心原理推導的結果，而不是用行列式來推導線性代數的核心。否則學生很可能迷糊，覺得行列式很難使用，再在它的基礎上來推導其它，就更令人困惑了。
本文試著給出行列式的意義，在理解意義的基礎上再來看行列式的性質，一切應該更明瞭一些。
如果要求平面上一個平行四邊形的面積來定義一個函式det(A),稱這個函式為行列式，除了寫成det（A），還可寫成絕對值A的形式。其中A的每一行對應著平行四邊形的兩條邊向量，先看函式det(A)滿足的性質，
，det(A)=面積
性質1：如果(a,b)=(1,0),(c,d)=(0,1)則平行四邊形變成正方形，面積=1，A為單位陣，即
性質2：若A有相同的兩行，則det(A)=0.
看一個極端情況，如果(a,b)=(c,d),即向量(a,b)與(c,d)重合，面積肯定為0。
性質3：det(A)對單獨任一行滿足線性關係，即
將（a,b）伸縮t倍，另一條邊不變，面積也伸縮t倍，如下圖：
針對第二個公式圖示如下：
性質4：交換兩行，det(A)變號。
將面積定向處理，右手定則是大家普遍遵守的，因此，行1，行2對應向量的方向滿足右手定則，則定義det(A)為正，否則為負。
利用上面這4個性質，可以求出任意平行四邊形的面積了。
這就是大家熟悉的二階行列式。
沿用行列式的這4個性質，可以將行列式擴充套件，比如求空間平行六面體的體積。
先將行列式的其它6個性質匯出：
性質5：若矩陣中有一行為全0行，則行列式為0.
利用性質3，全0行，提出一個因子0，行列式肯定為0.
性質6：從一行中減去其它行的幾倍，行列式不變。
證明：
性質7：若矩陣A為三角陣，則行列式等於對角元上元素的乘積。
證明：任一矩陣A透過初等行變換（性質5），均可以得到對角矩陣，且行列式不變。
每一行提出因子，
性質8： A是奇異陣且不可逆，行列式為0；反之，行列式不為0。
證明:高斯消元后得到U，A是奇異陣，則U有全0行，行列式為0；A是可逆的，則U的對角元素均不為0，所以行列式不為0。
行列式代表面積（體積），而矩陣A代表線性變換，只有線性變換後，線性空間不降維（行向量線性線性無關），才可以建立一一對映，即可逆。
性質9：矩陣AB的行列式等於A的行列式乘以B的行列式
行列式的含義是面積（體積）的放大倍數，AB可以看成是級聯絡統，級聯絡統的放大倍數等於分別每一級放大倍數的乘積。
性質10：A轉置的行列式等於A的行列式。
行列式的含義是體積的放大倍數，轉置後，體積放大倍數也沒有發生變化。