負數的定義

認識負數是很重要的一部分，我們先來看看小學教材中普遍是怎樣引入負數的（看下圖）。

可以看到主要是通過以下幾個角度幫學生理解負數

通過零下溫度呈現負數（如-20℃）。通過海拔高度呈現負數（如-200米）。通過相反方向呈現負數（如西-10米）。通過收入支出呈現負數（如-100元）。通過數線標出負數（如下圖）。

總的來說，課本是通過“相反意義的量”幫助學生理解負數。其中利用溫度計引入負數是教材中主要的例子，但是依靠溫度計引入負數會出現新的問題。有了負數之後，自然我們需要比較負數的大小，理解負數的運算。

1. 比較大小中的問題

-20<-5

利用溫度來理解就會出現矛盾，零下20度明明更冷，怎麼會比零下5度小？

2. 負數運算中的問題

-（-1）=1

-1+（-1）=-2

我們知道兩杯100度的沸水倒在一起並不是200度。所以溫度計引入負數不能很好的解決這兩個問題。

利用海拔高度可以觀察到-5米比-20米要高，以此理解比較大小的問題，要比溫度計好一些；利用數線上負數的位置比較大小更為直觀，孩子們從一年級就知道數線上位置越往右的數越大。

但是 -（-1）=1還是不能嚴格證明。

最後教材中告訴我們10、2等這樣的數都是正數，在這些數前面加上負號“-”的數，如-3、-500等就是負數。

所以教材中並沒有嚴格地給出負數的定義，只是介紹了它的符號寫法（看下圖）。讓學生知道了正數、負數表示具有相反意義的量。

我們發現小學教材是通過“相反意義的量”引入負數，初中教材普遍是怎麼樣引入的負數我們來看看（看下圖）。

初中同樣是從“相反意義的量”引入負數，有溫度、增長率、收支。告訴我們大於0的數叫做正數，在正數前面加上符號“-”（負）的數叫做負數。和小學課本給出的定義是一樣的。上期我們提到的主要問題證明“-（-1）=1”到這裡還是不能解決。

接著教材在給出有理數的定義後，介紹了數軸的定義（看下圖）

數軸的三要素：原點、單位長度、正方向。小學中定義的數線（或數射線）可以理解為數軸的一部分，因為數線沒有強調三要素，所以把數線叫作數軸並不是很嚴謹。負數比較大小可以從數軸來理解，位置越往右的數越大。

從數軸上可以看到與原點距離是2的點有兩個，它們表示的數分別是2和-2。由此教材給出了象2和-2, 5和-5這樣，只有符號不同的兩個數叫作互為相反數。

在數軸上，分別位於原點兩側，到原點距離相等的兩個點所表示的數，叫做互為相反數。

由此可知a的相反數是-a，具體來看1和-1到原點的距離是相等的，所以1的相反數是-1，-1的相反數是1。同時我們也知道-1的相反數是-（-1），因此只要證明相反數的唯一性，就可以說明-（-1）=1。

下面我們證明唯一性。（看下圖）

從相反數的角度我們知道了-（-1）=1。但這個圖片中的證明也是有漏洞的，因為我們還沒有證明a+(-a)=0，所以從a、b互為相反數得到a+b=0邏輯上是有問題的。

這個問題涉及到負數的加減，我們接著看教材是怎麼講解的負數加減法（看下圖）。

教材通過方向相反的量，先向右運動5m，再向左移動5m結果仍在起點處，由此得到5+（-5）=0。同理，先向右運動am，再向左移動am結果仍在起點處，由此得到a+（-a）=0。

但是這樣的推理只是一種理解方式，並不是嚴格地代數證明。想要給出嚴格證明還是要從負數的定義入手，如何從代數的角度給負數定義？

我們說到可以從相反數的角度理解-（-1）=1。本期咱們先來看看某版教材向量空間與群中零元與負元的定義。

設V是一個集合，+是V上的二元運算（+：V×V→V是一個對映）。

若存在0∈V，使得對每個v∈V都有v+0=v，則稱0是V中關於+的單位元，既零元。

若對每個v∈V，存在w∈V，使得v+w=0，則稱w是v的逆元。將w記為-v。既負元。先證明零元與負元的唯一性（下圖是在向量空間中的證明）。

思路和圖中一樣，設0"是另一個零元，w"是v的另一個負元。則有

0"=0"+0=0

w=w+0=w+(v+w")=(w+v)+w"=0+w"=w"

由此可得零元與負元的唯一性。

在自然數中，我們知道數字0，就是加法中的零元。

0+1=1

0+2=2

0+3=3

接著我們思考

1+□=0

2+□"=0

3+□""=0

我們把□定義為-1，既 □:=-1。按照這樣的定義自然有

-1+-（-1）=0

又有

-1+1=0

再根據負元的唯一性，可得

-（-1）=1

但是這樣的定義中小學學生還是會覺得不好理解。我們換個角度思考。因為減法是加法的逆運算。根據上面的加法算式可得

0=1-1

0=2-2

0=3-3

□=0-1

□"=0-2

□""=0-3

我們把 -1:=0-1。也就是把-1定義為0-1。一般地 -a:=0-a。

由此可知

-（-1）=-（0-1）=0-（0-1）=1

也就是說，可以從減法的封閉性來思考，把-1定義為0-1。再運用這個定義來進行推理。可以關注小修哦！

哈哈哈，負數，本人常用到，公差常用正負數表示。一般基數，旁邊公差，比如30正負10絲，就是30.1到29.9之間。一般以毫米作單位，哈哈哈

這個問題是有頭腦的人才問得出的，因為到了哲學層面啦。

儘管我們的祖先在一千七百年前就發明了負數的概念了，但我們的研究僅在形而下的運用層面，負數表示虧欠，這個概念在做加減運算時是夠用的，做乘除運算就不夠了，因為解釋不了為什麼負負得正。

直到笛卡爾的出現，才給負數下了定義，也同時為負負得正找到了最合理的解釋。

笛卡爾發明了笛卡爾座標系，座標系包含了所有的自然數，負數就是小於零的數。

負負為什麼得正？因為只有得正才能同時滿足乘法的三大定律。

負數就是在笛卡爾座標上旋轉180度。

這就是負數的數學含義。

對於負數的思考和研究早在兩千多面前就已經開始了，其實對於負數的研究就好比除法和乘法，對於數學家而言，乘法和除法是同一種操作，乘以一個數字等於除以另外一個數字，一切決定於你採取的是什麼樣的視角來看待它。

負數與0之間聯絡緊密，負數的真正研究是在0真正意義上成為一個數字之後，也就是說0的出現，為我們打開了通往負數的大門。正、負數是兩個相反的定義，應該在對比中進行理解，並且與0進行密切的聯絡。正數前面加上一個負號是負數這其實是從形式上的一種定義。我們應該從實際生活模型出發來理解我覺得會更透徹，畢竟任何數的產生一定基於生活生產的需求。

兜裡沒有錢，也沒有欠別人錢就是零。兜裡有錢，是自己的收入或者父母給的，就是正數。自己向別人借的錢就是負數。非法所得，或偷或搶或者貪汙受賄所得的錢也是負數，那是道德道義上的負數。

數的功能是表達量的多少，因為表達的需要不斷地擴大數的種類：整數、分數。負數，是表達跟正數的意義相反的那一類量而存在的。比如，贏得3個，輸了3個，都要3表達，顯然不適合。於是負數就出現了。一個是+3，另一個就是-3。

數學對負數的定義可以查到，個人從生活中的作用理解，正負數同時存在，就像矛與盾，黑與白，正與反，沒有負數正數不存在。如生活中對溫度的表述和理解，零上多少度，是零度以上的正數多少，零下多少度是零度以下的負數多少。再比如衡量海拔高度，以零度為基準，大於零度正數多少叫海拔高度，低於零度的負數多少叫低於海拔深度。由此可見，在數學意義上，正數和負數不是對與錯的關係，只是幫助人們瞭解衡量對一個問題的標準工具。

知道溫度計吧？0度之上為“正”，溫度是上升的；0度以下為“負”，溫度是下降的。“水”0度是臨界點，O度之下結成“冰”，變為固體，寒氣逼人。0度以上為液態的“水”，（100度又是一個臨界點，液態的水轉化為蒸氣，為“汽態”）這樣就好理解了。

實話實說，我一個小學語文老師說什麼也回答不出這個問題！知之為知之，不知為不知！我不能癩蛤蟆戴眼鏡，裝作知識分子。

其實不只是負數，很多數學概念都是哲學化的。我贊成康德的說法，數學、物理學並不是真實世界，他們只是我們對真實世界的認知。但是，這種認知並非是純粹個人主觀的，因為人的理性中是有穩定的、普世的、公認的部分，康德甚至還對這些部分進行了分類，這就是他所說的純粹理性。

拿負數來說，比如我們經常提到的溫度，其實溫度為負不能說明什麼，因為你不能認為它為負就是虧缺，也不能用來做任何運算。而且，不同溫度計量體系，刻度根本不同，開氏溫度和攝氏溫度，同樣的數字表達的溫度刻度根本就不是一回事。

其他的，比如無理數、無限細分的數字關係（極限與微積分），這些都是我們用以描述這個世界的方式，我們現在能廣泛接受，是因為這些描述方式是邏輯閉環的，是能自圓其說的。一旦有不能自圓其說的情況產生，數學就會出現大危機。歷史上數學出現了三次大危機，兩次解決了，第三次還沒有。

所以，不用太費心去追問數學領域的很多元命題（元命題不是那些猜想或定理，那些不是元命題，是數學領域自身的基本命題。什麼是元命題，比如康德問的：數學何以可能？物理學何以可能？邏輯學何以可能？等等），因為它們的產生本就是基於解決實際發生的問題，由無數多人共同努力構建的一套認知體系。負數何以可能？無理數何以可能？本質上沒有什麼道理，因為第一個人提出後，大家都認為這樣好、這樣管用、這樣沒問題。

很高興回答這個問題，這也是值得我們教師思考的一個數學問題，討論這個問題不僅僅是知識的討論，還對我們教師今後的教學有所幫助，有助於教師專業成長，所以我認為這是個好問題。下面就發表我的個人觀點：

關於負數的定義，課本上的定義是通過列舉出一些生活中的負數，然後以“像×××××這樣的數就是負數。”這種形式定義的，它是從負數的表現形式上定義的，並沒有從它的本質意義上定義，其實我們課本上最初的自然數也是這樣定義的。

我想這樣定義的原因有三點：一是在列舉負數前，已經舉出了一些具有相反意義的正負數，我們懂得了正負數實際上是具有相反意義的數，讓大家明白了負數的本質含義。二是負數表示的意義廣泛，從它本質意義定義不是一句話就能說得清楚的，從表現形式上定義要簡潔明瞭的多。三是自然數的定義也是這種格式，負數的定義也沿用了這種形式，便於我們對知識的遷移理解，也便於大家學習。

以上純屬我個人觀點，如有異議希望點評！

關於數的研究看似簡單，實則是數學中最難的了。數論是堪稱數學中難度最大的。

“正數前面加負號”這種說法是中小學課本上面的定義，目的是為了讓學生們有個直觀的瞭解。那麼我們引入負數的目的是什麼？無疑是在實際問題中，發現正數不夠用了。最容易理解的就是在數軸上觀察了。原點左邊的數即為複數。

就好比數學家們發現實數不夠研究的了，那實數以外呢？然後就自然而然引入了虛數，並給它了一個定義。當然引入過程肯定沒有這麼簡單，這樣說便於大家理解。

上學的時候，老師告訴我們！負數就像你欠別人錢一樣，欠別人錢你就是負資產。沒想到，我把學到的知識用於實踐，一下就變成老賴啦！我始終想不通。這不都是老師教的嗎？負負得正嘛！欠一個人的錢是負數為負資產，可我同時還欠別人的錢呢！不同樣是負數，同樣為負資產嗎？這負負不應該得正嗎？正數！當然就應該是我不差錢嘛！怎麼這麼簡單的道理！銀行和法院就是不明白尼？我聰明吧！賴賬都能堂而皇之的賴出理論來。

很高興與您探討這個問題。這個可以從多個緯度進行解釋。第一從正數出發，區別與加負號變為複數，第二可以從溫度定義，分為零上和零下，生活可以接觸到。第三可以從海平面理解，海拔有高，有低。第三可以從數的大小理解，比較與零的關係，第四可以從數軸研究，零的右邊比零大，則左邊比零小

這個問題得從數字的幾種定義上去分析。

一、正數：正數我們通常可以把它定義為實有、存在、盈利之類數字。

二、負數：我們把它定義為差、欠、虧損之類的數字。

比喻說：你欠別人家5元錢稱為負5元、某單位虧損一個億稱它為負一個億。

四：絕對值：絕對值就是數字的本身，不管是正數、負數絕對值都是這個本身數字。

比喻說：十5 、一5，他的絕對值都為丨5丨。

有了以上幾種數字的定義，你可去仔細分析。其實正數前面加負號就等於負數，實際上也就給絕對值定義，因為我們在日常工作和生活中通常記載數字是把正號省略了的。