已知一點P到⊙O上的最小距離為2cm，到⊙O上的最大距離為6cm，求⊙O的直徑。解決這個問題時，學生畫圖後很自然地想到：P到⊙O上的最小距離就是PB的長，到⊙O上的最大距離就是PA的長。老師往往把眼光瞄準此題的兩種情況：“點P是在圓內，還是在圓外”。從而引導學生分析這兩種情況後得出答案：如圖所示，當點P在圓內時，圓的直徑為PA+PB=8cm，當點P在圓外時，圓的直徑為PA-PB=4cm。那麼，在這個過程中，有一個問題被忽視了：為什麼說P到⊙O上的最小距離就是線段 PB的長，到⊙O上的最大距離就是線段PA的長呢？前幾天我在與同學們分析這個問題時，有的同學甚至說：那還用說嗎？很明顯嘛。其實利用圓的有關性質，我們不難得出證明：在圓上任取一個與點B不重合的點C，連線PC與OC，由三角形三邊關係可得：OP+PC＞OC ，所以有OP+PC＞OP+PB，可得PC＞PB，因為點C是不同於點B的任意一點，也就是說，除點B外，圓上任一點到P的距離都會大於PB的長，從而證明了點B就是點P到圓上最近的一點。同樣的方法還可證明點A是P到圓上最遠的一點以及當點P在圓外時的結論（如下圖）。從這道題的分析方法中，我們至少可以讓學生明白兩個道理。一是這道題的證明方法是幾何中常用的一種方法，要想說明某個量最大或最小，只須將這個量與其他任意一個符合題意的量進行對比，要是能得出其大小關係，由輔助量的任意性便可證明我們所需要的結論。二是有些我們看起來很自然的結論，實際上都是可以用我們學過的知識進行證明的，從而讓學生學會分析我們學習中一些“熟視無睹”的現象中蘊藏著的數學道理。在幾何中，類似的問題還有“直徑是圓中最長的弦”、“弓形高是弦的中點到弧上所有點中距離最短（優弧）或最長（劣弧）的線段”和“在河邊建水泵站，使水泵站到河的同側兩村的距離和最小”等等
已知一點P到⊙O上的最小距離為2cm，到⊙O上的最大距離為6cm，求⊙O的直徑。解決這個問題時，學生畫圖後很自然地想到：P到⊙O上的最小距離就是PB的長，到⊙O上的最大距離就是PA的長。老師往往把眼光瞄準此題的兩種情況：“點P是在圓內，還是在圓外”。從而引導學生分析這兩種情況後得出答案：如圖所示，當點P在圓內時，圓的直徑為PA+PB=8cm，當點P在圓外時，圓的直徑為PA-PB=4cm。那麼，在這個過程中，有一個問題被忽視了：為什麼說P到⊙O上的最小距離就是線段 PB的長，到⊙O上的最大距離就是線段PA的長呢？前幾天我在與同學們分析這個問題時，有的同學甚至說：那還用說嗎？很明顯嘛。其實利用圓的有關性質，我們不難得出證明：在圓上任取一個與點B不重合的點C，連線PC與OC，由三角形三邊關係可得：OP+PC＞OC ，所以有OP+PC＞OP+PB，可得PC＞PB，因為點C是不同於點B的任意一點，也就是說，除點B外，圓上任一點到P的距離都會大於PB的長，從而證明了點B就是點P到圓上最近的一點。同樣的方法還可證明點A是P到圓上最遠的一點以及當點P在圓外時的結論（如下圖）。從這道題的分析方法中，我們至少可以讓學生明白兩個道理。一是這道題的證明方法是幾何中常用的一種方法，要想說明某個量最大或最小，只須將這個量與其他任意一個符合題意的量進行對比，要是能得出其大小關係，由輔助量的任意性便可證明我們所需要的結論。二是有些我們看起來很自然的結論，實際上都是可以用我們學過的知識進行證明的，從而讓學生學會分析我們學習中一些“熟視無睹”的現象中蘊藏著的數學道理。在幾何中，類似的問題還有“直徑是圓中最長的弦”、“弓形高是弦的中點到弧上所有點中距離最短（優弧）或最長（劣弧）的線段”和“在河邊建水泵站，使水泵站到河的同側兩村的距離和最小”等等