蝴蝶定理：在圓O中，CD、EF為過AB弦的中點M的任意兩條弦，連線CF、DE分別交AB於H、K，則有MK=MH。
已知：在圓O中，CD、EF為過AB弦的中點M的任意兩條弦，連線CF、DE分別交AB於H、K。
求證：MK=MH。
蝴蝶定理最先是作為一個徵求證明的問題，刊載於1815年的一份通俗雜誌《男士日記》上，由於其幾何圖形形象奇特，酷似蝴蝶，因此而得名。歷史上出現過許多優美奇特的解法，其中最早的應首推霍納所給出的非初等的證法。至於初等數學的證法，在國外資料中，一般都認為是由一位中學數學教師斯特溫首先提出的，他給出的是面積法的證明。
思路1：如圖8-30甲所示,構造△MFH的全等△MGK；從四點共圓開始，再用四點共圓來證明∠MFH=∠MGK是關鍵；
證明1：過F作FG‖AB交⊙O於G，連線MG、KG、DG。
則∠AMF=∠MFG；∠BMG=∠MGF（平行線性質）；
在△AMF和△BMG中；
AM=MB；
∠FAM=∠GBM；（等弧對等角）
AF=BG； （等弧對等弦）
∴ △AMF≌△BMG；（SAS）
∴ ∠AMF=∠BMG；MF=MG；
∴ ∠AMF=∠MFG=∠FGM=∠GMB；
∵ E、F、G、D四點共圓；
∴ ∠MFG+∠KDG=180°
∴ ∠BMG+∠KDG=180°
∴ M、K、D、G四點共圓；
∴ ∠MDK=∠MGK；
∵ ∠MDK=∠MFH；（同弧上的圓周角相等）
∴ ∠MFH=∠MGK；
在△MFH和△MGK中；
∠FMH=∠GMK；
MF=MG；
∠MFH=∠MGK；
∴ △MFH≌△MGK；（ASA）
∴ MH=MK。
結論：根據圓的對稱性，往左邊作圖也一定可以，構造△MDK的全等三角形。
思路2：如圖8-30甲所示,根據圓的對稱性，作出弦心距；從三角形相似再推匯出三角形相似，由四點共圓，推匯出∠MOH=∠MOK是關鍵；
證明2：過O作OS⊥FC、OT⊥DE、連OH、OK、SM、MT，再連MO。
∵ AM=MB；
∴ OM⊥AB、∠AMO=∠BMO=90°；
在△FCM和△DEM中；
∠CMF=∠DME；（對頂角相等）；
∠MFC=∠MDE；（等弧對等圓周角）
∴ △FCM∽△DEM；（AA）
∴ = ；
∵ FS=SC=FC；DT=TE=DE；
在△FSM和△DTM中；
∠MFS=∠MDT；（等弧對等圓周角）；
= ；
∴ △FSM∽△DTM；（SAS）
∠FSM=∠DTM；
∠MSH=∠MTK；
∵ ∠AMO=90°、∠HSO=90°；O、S、H、M四點共圓；
∴ ∠MSH=∠MOH；
∵ ∠BMO=90°、∠KTO=90°；O、T、K、M四點共圓；
∴ ∠MTK=∠MOK；
∴ ∠MOH=∠MOK；
∴ M、H、G、F四點共圓；
∴ ∠MGH=∠MFH；
在△MOH和△MOK中；
∠MOH=∠MOK；
MO=MO；
∠AMO=∠BMO=90°；
∴ △MOH≌△MOK；（ASA）
結論：作出弦心距是最有效的輔助線，本證法的出發點是證明△HOK是等腰三角形，利用等腰三角形的三線合一性來證明最終的結論。該命題還有很多其他證法，不再贅述
蝴蝶定理：在圓O中，CD、EF為過AB弦的中點M的任意兩條弦，連線CF、DE分別交AB於H、K，則有MK=MH。
已知：在圓O中，CD、EF為過AB弦的中點M的任意兩條弦，連線CF、DE分別交AB於H、K。
求證：MK=MH。
蝴蝶定理最先是作為一個徵求證明的問題，刊載於1815年的一份通俗雜誌《男士日記》上，由於其幾何圖形形象奇特，酷似蝴蝶，因此而得名。歷史上出現過許多優美奇特的解法，其中最早的應首推霍納所給出的非初等的證法。至於初等數學的證法，在國外資料中，一般都認為是由一位中學數學教師斯特溫首先提出的，他給出的是面積法的證明。
思路1：如圖8-30甲所示,構造△MFH的全等△MGK；從四點共圓開始，再用四點共圓來證明∠MFH=∠MGK是關鍵；
證明1：過F作FG‖AB交⊙O於G，連線MG、KG、DG。
則∠AMF=∠MFG；∠BMG=∠MGF（平行線性質）；
在△AMF和△BMG中；
AM=MB；
∠FAM=∠GBM；（等弧對等角）
AF=BG； （等弧對等弦）
∴ △AMF≌△BMG；（SAS）
∴ ∠AMF=∠BMG；MF=MG；
∴ ∠AMF=∠MFG=∠FGM=∠GMB；
∵ E、F、G、D四點共圓；
∴ ∠MFG+∠KDG=180°
∴ ∠BMG+∠KDG=180°
∴ M、K、D、G四點共圓；
∴ ∠MDK=∠MGK；
∵ ∠MDK=∠MFH；（同弧上的圓周角相等）
∴ ∠MFH=∠MGK；
在△MFH和△MGK中；
∠FMH=∠GMK；
MF=MG；
∠MFH=∠MGK；
∴ △MFH≌△MGK；（ASA）
∴ MH=MK。
結論：根據圓的對稱性，往左邊作圖也一定可以，構造△MDK的全等三角形。
思路2：如圖8-30甲所示,根據圓的對稱性，作出弦心距；從三角形相似再推匯出三角形相似，由四點共圓，推匯出∠MOH=∠MOK是關鍵；
證明2：過O作OS⊥FC、OT⊥DE、連OH、OK、SM、MT，再連MO。
∵ AM=MB；
∴ OM⊥AB、∠AMO=∠BMO=90°；
在△FCM和△DEM中；
∠CMF=∠DME；（對頂角相等）；
∠MFC=∠MDE；（等弧對等圓周角）
∴ △FCM∽△DEM；（AA）
∴ = ；
∵ FS=SC=FC；DT=TE=DE；
∴ = ；
在△FSM和△DTM中；
∠MFS=∠MDT；（等弧對等圓周角）；
= ；
∴ △FSM∽△DTM；（SAS）
∠FSM=∠DTM；
∠MSH=∠MTK；
∵ ∠AMO=90°、∠HSO=90°；O、S、H、M四點共圓；
∴ ∠MSH=∠MOH；
∵ ∠BMO=90°、∠KTO=90°；O、T、K、M四點共圓；
∴ ∠MTK=∠MOK；
∴ ∠MOH=∠MOK；
∴ M、H、G、F四點共圓；
∴ ∠MGH=∠MFH；
在△MOH和△MOK中；
∠MOH=∠MOK；
MO=MO；
∠AMO=∠BMO=90°；
∴ △MOH≌△MOK；（ASA）
∴ MH=MK。
結論：作出弦心距是最有效的輔助線，本證法的出發點是證明△HOK是等腰三角形，利用等腰三角形的三線合一性來證明最終的結論。該命題還有很多其他證法，不再贅述