平面幾何與立體幾何
最早的幾何學當屬 平面幾何.
平面幾何就是研究平面上的直線和二次曲線（即圓錐曲線,就是橢圓、雙曲線和拋物線）的幾何結構和度量性質（面積、長度、角度）.平面幾何採用了公理化方法,在數學思想史上具有重要的意義. 平面幾何的內容也很自然地過渡到了三維空間的立體幾何.為了計算體積和麵積問題,人們實際上已經開始涉及微積分的最初概念. 笛卡爾引進座標系後,代數與幾何的關係變得明朗, 且日益緊密起來.這就促使瞭解析幾何的產生.解析幾何是由笛卡爾、費馬分別獨立建立的.這又是一次具有里程碑意義的事件。
從解析幾何的觀點出發,幾何圖形的性質可以歸結為方程的分析性質和代數性質.幾何圖形的分類問題（比如把圓錐曲線分為三類）,也就轉化為方程的代數特徵分類的問題,即尋找代數不變數的問題. 立體幾何歸結為三維空間解析幾何的研究範疇,從而研究二次曲面（如球面,橢球面、錐面、雙曲面,鞍面）的幾何分類問題,就歸結為研究代數學中二次型的不變數問題. 總體上說,上述的幾何都是在歐氏空間的幾何結構--即平坦的空間結構--背景下考察,而沒有真正關注彎曲空間下的幾何結構.歐幾里得幾何公理本質上是描述平坦空間的幾何特性,特別是第五公設引起了人們對其正確性的疑慮.由此人們開始關注其彎曲空間的幾何, 即“非歐幾何”.非歐幾何中包括了最經典幾類幾何學課題, 比如“球面幾何”,“羅氏幾何”等等.另一方面,為了把無窮遠的那些虛無縹緲的點也引入到觀察範圍內, 人們開始考慮射影幾何. 這些早期的非歐幾何學總的來說,是研究非度量的性質,即和度量關係不大,而只關注幾何物件的位置問題--比如平行、相交等等. 這幾類幾何學所研究的空間背景都是彎曲的空間
平面幾何與立體幾何
最早的幾何學當屬 平面幾何.
平面幾何就是研究平面上的直線和二次曲線（即圓錐曲線,就是橢圓、雙曲線和拋物線）的幾何結構和度量性質（面積、長度、角度）.平面幾何採用了公理化方法,在數學思想史上具有重要的意義. 平面幾何的內容也很自然地過渡到了三維空間的立體幾何.為了計算體積和麵積問題,人們實際上已經開始涉及微積分的最初概念. 笛卡爾引進座標系後,代數與幾何的關係變得明朗, 且日益緊密起來.這就促使瞭解析幾何的產生.解析幾何是由笛卡爾、費馬分別獨立建立的.這又是一次具有里程碑意義的事件。
從解析幾何的觀點出發,幾何圖形的性質可以歸結為方程的分析性質和代數性質.幾何圖形的分類問題（比如把圓錐曲線分為三類）,也就轉化為方程的代數特徵分類的問題,即尋找代數不變數的問題. 立體幾何歸結為三維空間解析幾何的研究範疇,從而研究二次曲面（如球面,橢球面、錐面、雙曲面,鞍面）的幾何分類問題,就歸結為研究代數學中二次型的不變數問題. 總體上說,上述的幾何都是在歐氏空間的幾何結構--即平坦的空間結構--背景下考察,而沒有真正關注彎曲空間下的幾何結構.歐幾里得幾何公理本質上是描述平坦空間的幾何特性,特別是第五公設引起了人們對其正確性的疑慮.由此人們開始關注其彎曲空間的幾何, 即“非歐幾何”.非歐幾何中包括了最經典幾類幾何學課題, 比如“球面幾何”,“羅氏幾何”等等.另一方面,為了把無窮遠的那些虛無縹緲的點也引入到觀察範圍內, 人們開始考慮射影幾何. 這些早期的非歐幾何學總的來說,是研究非度量的性質,即和度量關係不大,而只關注幾何物件的位置問題--比如平行、相交等等. 這幾類幾何學所研究的空間背景都是彎曲的空間