十九世紀末到二十世紀初，由於數學理論基礎的一般化（例如集合論的出現），帶來了若干自相矛盾的結果，最典型的如羅素的集合論悖論等，導致了所謂“數學危機”。為解決危機，產生了三個對數學本質問題進行探討的流派，即邏輯主義、直覺主義和形式主義。其中邏輯主義認為數學就是邏輯，所以必須從邏輯基礎入手來解決問題。直覺主義則認為數學來自人的理智直覺，比如不證自明的整數系列、任何數學都應以此為基礎明確構造等。而形式主義則希望將數學與現實世界完全剝離，將數學物件歸結為徹底符號化、內部自洽無矛盾的形式化公理體系。這三個流派中以形式主義的影響最大，其領袖人物就是德國哥廷根大學的數學家希爾伯特，年輕的馮諾依曼曾追隨他全力開展數學公理化證明。

哥德爾當時在維也納大學，與維也納的邏輯經驗主義小組保持著密切聯絡，研究也受其很大影響，但他在理論立場上卻不屬於邏輯經驗主義。1931年，哥德爾針對希爾伯特的形式主義主張，用嚴密的研究提出了一個徹底否定性的證明，這就是他的“不完全性定理”。由於希爾伯特是將所有數學的形式化都歸結為最基礎的算術系統公理化，所以哥德爾不完全性定理的一個最直接表述就是：算術是無法完全形式化的。換言之，就算勉強形式化之後，該算術系統中將總是存在著在系統內無法判定真偽、但又有意義的命題。既然存在著無法判定的物件，這就表明，該系統實際上是不完備的，形式化也就是不成功的。

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哥德爾與愛因斯坦

哥德爾的研究影響很大，至少當時就使形式主義流派遭受重大打擊，使馮諾依曼立即放棄了對公理化問題的進一步研究。當然，希爾伯特開創的元數學研究還是很有意義的，但徹底的形式化努力則失去了意義。

不完全性定理是二十世紀基礎數學和邏輯的重大成果，有人認為它標示了人的理性所不可逾越的邊界，特別是將其與圖靈機程式研究結合之後，證明了人工智慧不可能超越真實人類的智慧，因為人的現實智慧遠比邏輯計算可能達到的智慧更加豐富，所以不可歸結為徹底的數學計算程式。但也有人認為它不過是說明了數學世界具有不確定性，上帝不但在量子物理的世界裡擲骰子，在數學的世界裡也同樣擲骰子，不確定並不表明不可能，只是人無法透過邏輯計算完全知道而已。

可以確定的是，哥德爾不完全性定理說明人的理性邏輯並不能包括人類智慧和真實世界的全部，只是其中的一個組成部分。用哥德爾自己的話說，就是“人類精神是不可能形式化（或機械化）所有數學直覺的。即如果我們能夠成功形式化它的一部分，這個事實就恰好需要一種新的直覺知識，例如，這種形式主義的一致性知識。”