在一個含有若干個元的多項式中,如果任意交換兩個元的位置,多項式不變,這樣的多項式叫做對稱多項式. 二元對稱式的基本對稱式是x+y,xy任何二元對稱多項式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元對稱多項式的分解方法之一是:先將其用xy,x+y表示,再行分解. 對稱式的因式分解 在一個含有若干個元的多項式中,如果任意交換兩個元的位置,多項式不變,這樣的多項式叫做對稱多項式. 例7分解因式x4+(x+y)4+y4 分析 這是一個二元對稱式,二元對稱式的基本對稱式是x+y,xy任何二元對稱多項式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元對稱多項式的分解方法之一是:先將其用xy,x+y表示,再行分解. 解 ∵x4+y4 =(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2 =(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2. ∴原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4 =2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2 =2[(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2] =2[(x+y)2-xy]2-2(x2+y2+xy)2, 例8分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b). 此題中若將式中的b換成a,c換成b,a換成c,即為c2(a-b)+a2(b-c)+b2(c-a),,原式不變,這類多項式稱為關於a、b、c的輪換對稱式，輪換對稱式的因式分解，用因式定理及待定係數法比較簡單，下面先粗略介紹一下因式定理，為了敘述方便先引入符號f(x)、f(a)如對一元多項式3x2-5x-2可記作f(x)=3x2-5x-2,f(a)即表示當x=a時多項式的值，如x=1時多項式3x2-5x-2的值為f(1)=3×12-5×1-2=-4,當x=2時多項式3x2-5x-2的值為f(2)=3×22-5×2-2=0. 因式定理 如果x=a時多項式f(x)的值為零,即f(a)=0,則f(x)能被x-a整除(即含有x-a之因式). 如多項式f(x)=3x2-5x-2,當x=2時,f(2)=0,即f(x)含有x-2的因式,事實上f(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2). 證明 設f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0, 若f(a)=0,則 f(x)=f(x)-f(a) =(anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0) =(anan+an-1an-1+…+a1a+a0) =an(xn-an)+an-1(xn-1-an-1)+…+a1(x-a), 由於(x-a)|(xn-an),(x-a)|(xn-1-an-1),…,(x-a)|(x-a), ∴(x-a)|f(x), 對於多元多項式,在使用因式定理時可以確定一個主元,而將其它的元看成確定的數來處理. 現在我們用因式定理來解例8. 解 這是一個含有a、b、c三個字母的三次多項式，現以a為主元，設f(a)=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b),易知當a=b和a=c時，都有f(a)=0,故a-b和a-c是多項式的因式，而視b為主元時，同理可知b-c也是多項式的因式，而三次多項式至多有三個因式故可設a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a),其中k為待定係數，令a=0,b=1,c=-1可得k=-1. ∴a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b) =-(a-b)(b-c)(c-a). 例9分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b). 分析 這是一個關於a、b、c的四次齊次輪換多項式，可用因式定理分解，易知a-b,b-c,c-a是多項式的三個因式，而四次多項式還有一個因式，由輪換對稱性可知這個一次因式應是a+b+c，故可設a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)（其中k為待定係數），取，a=0,b=1,c=-1可得k=-1,所以 原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).
在一個含有若干個元的多項式中,如果任意交換兩個元的位置,多項式不變,這樣的多項式叫做對稱多項式. 二元對稱式的基本對稱式是x+y,xy任何二元對稱多項式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元對稱多項式的分解方法之一是:先將其用xy,x+y表示,再行分解. 對稱式的因式分解 在一個含有若干個元的多項式中,如果任意交換兩個元的位置,多項式不變,這樣的多項式叫做對稱多項式. 例7分解因式x4+(x+y)4+y4 分析 這是一個二元對稱式,二元對稱式的基本對稱式是x+y,xy任何二元對稱多項式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元對稱多項式的分解方法之一是:先將其用xy,x+y表示,再行分解. 解 ∵x4+y4 =(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2 =(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2. ∴原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4 =2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2 =2[(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2] =2[(x+y)2-xy]2-2(x2+y2+xy)2, 例8分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b). 此題中若將式中的b換成a,c換成b,a換成c,即為c2(a-b)+a2(b-c)+b2(c-a),,原式不變,這類多項式稱為關於a、b、c的輪換對稱式，輪換對稱式的因式分解，用因式定理及待定係數法比較簡單，下面先粗略介紹一下因式定理，為了敘述方便先引入符號f(x)、f(a)如對一元多項式3x2-5x-2可記作f(x)=3x2-5x-2,f(a)即表示當x=a時多項式的值，如x=1時多項式3x2-5x-2的值為f(1)=3×12-5×1-2=-4,當x=2時多項式3x2-5x-2的值為f(2)=3×22-5×2-2=0. 因式定理 如果x=a時多項式f(x)的值為零,即f(a)=0,則f(x)能被x-a整除(即含有x-a之因式). 如多項式f(x)=3x2-5x-2,當x=2時,f(2)=0,即f(x)含有x-2的因式,事實上f(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2). 證明 設f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0, 若f(a)=0,則 f(x)=f(x)-f(a) =(anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0) =(anan+an-1an-1+…+a1a+a0) =an(xn-an)+an-1(xn-1-an-1)+…+a1(x-a), 由於(x-a)|(xn-an),(x-a)|(xn-1-an-1),…,(x-a)|(x-a), ∴(x-a)|f(x), 對於多元多項式,在使用因式定理時可以確定一個主元,而將其它的元看成確定的數來處理. 現在我們用因式定理來解例8. 解 這是一個含有a、b、c三個字母的三次多項式，現以a為主元，設f(a)=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b),易知當a=b和a=c時，都有f(a)=0,故a-b和a-c是多項式的因式，而視b為主元時，同理可知b-c也是多項式的因式，而三次多項式至多有三個因式故可設a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a),其中k為待定係數，令a=0,b=1,c=-1可得k=-1. ∴a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b) =-(a-b)(b-c)(c-a). 例9分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b). 分析 這是一個關於a、b、c的四次齊次輪換多項式，可用因式定理分解，易知a-b,b-c,c-a是多項式的三個因式，而四次多項式還有一個因式，由輪換對稱性可知這個一次因式應是a+b+c，故可設a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)（其中k為待定係數），取，a=0,b=1,c=-1可得k=-1,所以 原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).