聚點，也叫極限點，是點集拓撲上的一個概念，若x0的每個鄰域上都含有除了它本身以外A的元素，則x0就是A的極限點。微積分實際上研究的是歐氏空間的分析性質（比如連續性、可導性、可積性），而歐氏空間是最常見的度量空間（帶有度量的拓撲空間），所以聚點作為拓撲學的概念也很自然出現在微積分裡。同時出現的有：開集、閉集、鄰域（但是微積分中的鄰域其實是拓撲學的球形鄰域）、內點、閉包、導集、內部...
這些內容為什麼出現在微積分裡面是因為用他們可以分析和限定點集的結構和性質。比如連續性。一元微積分中連續性是用epsilon-delta語言定義：
如果你用鄰域的語言翻譯一下函式在x0連續的定義就是：設E為f的定義域，對任意f（x0）的鄰域A，存在x0的鄰域B，使得f（B交E）是A的子集（即任意B交E中元素的函式值在A中）。所以說，微積分的很多概念是可以用拓撲上的概念去表示的，進而我們對更一般的拓撲空間進行研究，其結果能自然推廣到微積分上。而且用拓撲學的概念的話，很多一元和多元理論就沒有界限了，甚至在所有形式的拓撲空間中都能得到統一，這樣有助於我們統一的認識它們，比如多元函式連續性，如果你用鄰域的語言描述的話，仍然是上面那句話。
在一元微積分中，我們可以避免使用拓撲學的術語是因為實軸的結構沒那麼複雜，開區間、閉區間這樣的結構就很夠用，但是到了高維中你不僅僅能畫出圓、矩形這樣的規則圖形，還能畫出各種奇怪的連通的圖形，而且開和閉的概念也沒有那麼清晰了，所以引入聚點等概念去刻畫就成了必要的了。有些人可能覺得，開閉什麼的無所謂，但實際上開集和閉集是很重要的概念，它們都有特別的性質，作為一個很簡單的例子，就是閉區間的連續函式有最值和介值性。這個在開區間上是沒有的。這個性質也可以推廣：有界閉集上的連續函式有最值和介值性。它依賴於實數的完備性，可以用：有界閉集S的任意無限子集必在S中有聚點去證明。
另外，雖然確實聚點可以分成邊界點和內點。但邊界點這個概念並不重要，邊界點的定義為不是內點的聚點。大家或許很喜歡用圖去形象的瞭解內點、極限點的關係：
但要知道的是，圖形並不是只有長得那麼中規中矩的圖形，點集也並不一定要圍成一個圖形。如果用這樣的圖形去記憶什麼點是什麼點是不嚴謹的。
聚點，也叫極限點，是點集拓撲上的一個概念，若x0的每個鄰域上都含有除了它本身以外A的元素，則x0就是A的極限點。微積分實際上研究的是歐氏空間的分析性質（比如連續性、可導性、可積性），而歐氏空間是最常見的度量空間（帶有度量的拓撲空間），所以聚點作為拓撲學的概念也很自然出現在微積分裡。同時出現的有：開集、閉集、鄰域（但是微積分中的鄰域其實是拓撲學的球形鄰域）、內點、閉包、導集、內部...
這些內容為什麼出現在微積分裡面是因為用他們可以分析和限定點集的結構和性質。比如連續性。一元微積分中連續性是用epsilon-delta語言定義：
如果你用鄰域的語言翻譯一下函式在x0連續的定義就是：設E為f的定義域，對任意f（x0）的鄰域A，存在x0的鄰域B，使得f（B交E）是A的子集（即任意B交E中元素的函式值在A中）。所以說，微積分的很多概念是可以用拓撲上的概念去表示的，進而我們對更一般的拓撲空間進行研究，其結果能自然推廣到微積分上。而且用拓撲學的概念的話，很多一元和多元理論就沒有界限了，甚至在所有形式的拓撲空間中都能得到統一，這樣有助於我們統一的認識它們，比如多元函式連續性，如果你用鄰域的語言描述的話，仍然是上面那句話。
在一元微積分中，我們可以避免使用拓撲學的術語是因為實軸的結構沒那麼複雜，開區間、閉區間這樣的結構就很夠用，但是到了高維中你不僅僅能畫出圓、矩形這樣的規則圖形，還能畫出各種奇怪的連通的圖形，而且開和閉的概念也沒有那麼清晰了，所以引入聚點等概念去刻畫就成了必要的了。有些人可能覺得，開閉什麼的無所謂，但實際上開集和閉集是很重要的概念，它們都有特別的性質，作為一個很簡單的例子，就是閉區間的連續函式有最值和介值性。這個在開區間上是沒有的。這個性質也可以推廣：有界閉集上的連續函式有最值和介值性。它依賴於實數的完備性，可以用：有界閉集S的任意無限子集必在S中有聚點去證明。
另外，雖然確實聚點可以分成邊界點和內點。但邊界點這個概念並不重要，邊界點的定義為不是內點的聚點。大家或許很喜歡用圖去形象的瞭解內點、極限點的關係：
但要知道的是，圖形並不是只有長得那麼中規中矩的圖形，點集也並不一定要圍成一個圖形。如果用這樣的圖形去記憶什麼點是什麼點是不嚴謹的。