2009=49*41，√2009=7√41
√x+√y=√2009，由x,y的對稱地位，並且顯然不會相等，不妨設x>y.
易得y=2009-14√(41x)+x，故
x-y+2009=14√(41x) （1）
上式右端顯然應該是整數，因為41是質數，要使上式右端是整數，x必是41的倍數。這樣右端根號內可以提出41從而右端是41的倍數，再看上式左端，2009是41的倍數，於是x-y也是41的倍數，從而y也是41的倍數。
可設x=41u,y=41v，代入（1）可得：
u-v+49=14√u (2)
從上式易看出，u-v是7的倍數，記u-v=7t
則(2)可化為：
t=-7+2√u, 由於2009≥x=41u,所以49≥u≥7t>0，且u,t都是整數，所以
u的取值只能是49,36,25,16，相應的t=7,5,3,1，v=0,1,4,9.
代入u,v算出x,y的值，考慮到x,y的對稱性，最後可得8組解：
x=2009,y=0
x=1476,y=41
x=1025,y=164
x=656, y=369
x=369, y=656
x=164, y=1025
x=41, y=1476
x=0, y=2009
2009=49*41，√2009=7√41
√x+√y=√2009，由x,y的對稱地位，並且顯然不會相等，不妨設x>y.
易得y=2009-14√(41x)+x，故
x-y+2009=14√(41x) （1）
上式右端顯然應該是整數，因為41是質數，要使上式右端是整數，x必是41的倍數。這樣右端根號內可以提出41從而右端是41的倍數，再看上式左端，2009是41的倍數，於是x-y也是41的倍數，從而y也是41的倍數。
可設x=41u,y=41v，代入（1）可得：
u-v+49=14√u (2)
從上式易看出，u-v是7的倍數，記u-v=7t
則(2)可化為：
t=-7+2√u, 由於2009≥x=41u,所以49≥u≥7t>0，且u,t都是整數，所以
u的取值只能是49,36,25,16，相應的t=7,5,3,1，v=0,1,4,9.
代入u,v算出x,y的值，考慮到x,y的對稱性，最後可得8組解：
x=2009,y=0
x=1476,y=41
x=1025,y=164
x=656, y=369
x=369, y=656
x=164, y=1025
x=41, y=1476
x=0, y=2009