解：函數週期性利用函式的週期的性質。所謂函式的最小正週期T(T>0)是所有函式的正週期中的最小值，比如函式y=sinx,的最小正週期為2Pai,對於任意的x:R,滿足f（x+T)=f(x)恆成立，即f(x+2pai)=f(x)恆成立。

證明：假設該函式的最小正週期為T,T=min{正週期的集合}，，T>0,是常數，最小正週期是所有的正週期中最小的那個正週期。

f（x+T)=f(x)對任意x:R恆成立

sin(x+T)=sinx

sinxcosT+cosxsinT=sinx

cosTsinx-sinx+sinTcosx=0

(cosT-1)sinx+sinTcosx=0

[(cosT-1)^2+sinT^2)]^1/2sin(x+b)=0

tanb=sinT/(cosT-1)=-sinT/(1-cosT)=-1/[(1-cosT)/sinT]=-1/tanT/2=-cotT/2=-tan(pai/2-T/2)=tan(-pai/2+T/2) b=kpai-pai/2+T/2,k:Z,公式tanx/2=sinx/(1+cosx)=(1-cosx)/sinx,

-pai/2

[cosT^2-2cosT+1+sinT^2]^1/2sin(x+b)=0恆成立

（2-2cosT)^1/2sin(x+b)=0恆成立

2（1-cosT)^1/2sin(x+b)=0恆成立

（1-cosT)^1/2sin(x+b)=0

x:R,b是（-pai/2,pai/2)之間的常數，令b=0,x+b=x+0=x,:R,對於（-pai/2,pai/2)之間某個數b,它的值域是R,那麼（-pai/2,pai/2)真包含{0}，範圍比0大，b=0,R,範圍比0大，這個常數的範圍比0大，那麼值域的範圍一定比b=0時候的值域大，至少和它相等，R已經是最大的值域了，所以對於b屬於（-pai/2,pai/2)的值域={0}的值域=R,sin(x+b)在R上的值域是[-1,1],

對於一個ax=0恆成立，x在某個區間內變化，x:[a,b]中變化，對於[a,b]中任意的x,ax=0恆成立，則係數a=0,0*x=0,x:R,0乘以任何實數=0，[a,b]真包含於R,是R的子區間，在R上成立，那麼在子區間[a,b]一定成立，0*x=0,x;[a,b]恆成立。

（1-cosT)^1/2=0

1-cosT=0

cosT=1

T=2kpai,k:Z,T的終邊在xx的正半軸上，k:Z

T>0,2kpai>0,k>0,k:Z，k;Z+,同時滿足k>0,k:Z,大於0的整數，就是正整數。

T=2pai*k,2pai>0,T在R上是增函式，然後Z+真包含於R,Z+是R的子區間，在Z+上單調遞，Z+：1,2.3.....+無窮，kmin=1,Tmin=2pai*1=2pai.

最小正週期，1.是正週期，得出k>0,2.最小，是所有正週期中最小的正週期，Tmin=2pai.

證明完畢