i是虛數，我們來看一下根號i

i²=-1

（i+1）²=i²+2i+1=2i

√i=√（2i/2）=√（i+1）²/√2=(i+1)/√2=√2/2+√2i/2

它屬於複數集下的虛數集

合起來整體就是一個複數

根號 i，即 √i = {√2 + i√2, - √2 - i√2}，當然有意義！

將問題擴大，研究一下 複數 開 n 次方的情況：

對於任意複數 z，ⁿ√z 定義為：

ⁿ√z = { ω ∈ C | ωⁿ = z }，

也就是說 ⁿ√z 是 n 次多項式方程：ωⁿ - z = 0 的所有解。

根據代數基本定理：

一元n次多項式，在 複數域 內 必然後 n 個 根（計算重根）。

這就說明 ⁿ√z 最多有 n 個解。

而實際上，設，z 的 模 和 輻角主值（這裡，規定[0, 2π) 之間，有些書規定 (-π, π] 之間） 分別是 r 和 θ，則 z 的 指數表示 為：

於是有：

其中，當 k = 0, 1, 2, ..., n - 1 時 ⁿ√z 取得輻角主值，繪製成圖如下：

也就是說，ⁿ√z 的根沒有重根，都是 ⁿ√z 的解，這些解，位於 在複平面上，圓心在原點，半徑為 ⁿ√r 的圓上，從 輻角 θ / n 開始，沿著逆時針方向，將圓周 n 等分。

說明 √i 的情況：

虛數 i 的 模是 1，輻角主值是 π/2，於是 指數表示 為：

由上面的公式，得：

根據尤拉公式：

得到：

這就是，最開始的結果。

複數 開方 和 實數的 區別：

這裡特別強調，對於實數 a 的n次開方 ⁿ√a：

當 a 非負，n 是偶數時， ⁿ√a 定義為，方程 xⁿ = a 的正實數解，而用 -²√a 表示，該方程的 負實數解；

其他開方情況，方程 xⁿ = a，在實數範圍內，只有一個根，即 ⁿ√a；

所以說，實數內，透過巧妙定義，使得 ⁿ√a 唯一，而到了 複數下，就沒有這個必要了。（雖然，我們可以取輻角最小的，但其它，情況將會漏掉。）

虛單位的定義：

那麼問題來了，既然在複數範圍內，開方 是 有多個根的，那麼 √-1 應該 等於 ±i 才對，而我們定義 i = √-1 或者 i² = -1，就無法保證 i 的唯一性了！

於是，我們需要用新的方法來定義複數，一種方法是 將 複數 z = a + i b 定義為，複平面上的 二維 座標向量 z = (a, b)，然後再定義 加法 和 乘法運算：

z₁ + z₂ = (a₁, b₁) + (a₂, b₂) =(a₁+ a₂, b₁ + b₂)

z₁ × z₂ = (a₁, b₁) × (a₂, b₂) = (a₁a₂ - b₁b₂, a₁b₂ + b₁a₂)

並 讓 a = (a, 0) 以相容 實數；

這樣以來，我們發現

(0, 1)² = (0, 1) × (0, 1) = (0×0 - 1×1, 0×1 + 1×0) = (-1, 0) = -1

於是，令：

i = (0, 1)

則有，

i² = -1

稱 i 為 虛單位；

而且，這樣以來，對於 任意複數 z = (a, b)，有：

z = (a, b) = (a + 0, 0 + b) = (a, 0) + (0, b) = a + (b×0 - 0×1，b×1 + 0×0) = a + (b, 0)×(0, 1) = a + b i

這就是我們熟悉的 複數表示。

這樣以來，-i = (0, -1)，同樣 有 (-i)² = -1。

如此，就巧妙的解決了 i的確定性 和 √-1 多值的矛盾。

(小石頭數學水平有限，希望給位老師和同學給與批評指正！）