拓撲學的英文名是Topology,直譯是地誌學,也就是和研究地形、地貌相類似的有關學科。中國早期曾經翻譯成“形勢幾何學”、“連續幾何學”、“一對一的連續變換群下的幾何學”,但是,這幾種譯名都不大好理解,1956年統一的《數學名詞》把它確定為拓撲學,這是按音譯過來的。 拓撲學是幾何學的一個分支,但是這種幾何學又和通常的平面幾何、立體幾何不同。通常的平面幾何或立體幾何研究的物件是點、線、面之間的位置關係以及它們的度量性質。拓撲學對於研究物件的長短、大小、面積、體積等度量性質和數量關係都無關。 舉例來說,在通常的平面幾何裡,把平面上的一個圖形搬到另一個圖形上,如果完全重合,那麼這兩個圖形叫做全等形。但是,在拓撲學裡所研究的圖形,在運動中無論它的大小或者形狀都發生變化。在拓撲學裡沒有不能彎曲的元素,每一個圖形的大小、形狀都可以改變。例如,前面講的尤拉在解決哥尼斯堡七橋問題的時候,他畫的圖形就不考慮它的大小、形狀,僅考慮點和線的個數。這些就是拓撲學思考問題的出發點。 拓撲性質有那些呢?首先我們介紹拓撲等價,這是比較容易理解的一個拓撲性質。 在拓撲學裡不討論兩個圖形全等的概念,但是討論拓撲等價的概念。比如,儘管圓和方形、三角形的形狀、大小不同,在拓撲變換下,它們都是等價圖形。左圖的三樣東西就是拓撲等價的,換句話講,就是從拓撲學的角度看,它們是完全一樣的。 在一個球面上任選一些點用不相交的線把它們連線起來,這樣球面就被這些線分成許多塊。在拓撲變換下,點、線、塊的數目仍和原來的數目一樣,這就是拓撲等價。一般地說,對於任意形狀的閉曲面,只要不把曲面撕裂或割破,他的變換就是拓撲變幻,就存在拓撲等價。 應該指出,環面不具有這個性質。比如像左圖那樣,把環面切開,它不至於分成許多塊,只是變成一個彎曲的圓桶形,對於這種情況,我們就說球面不能拓撲的變成環面。所以球面和環面在拓撲學中是不同的曲面。 直線上的點和線的結合關係、順序關係,在拓撲變換下不變,這是拓撲性質。在拓撲學中曲線和曲面的閉合性質也是拓撲性質。 我們通常講的平面、曲面通常有兩個面,就像一張紙有兩個面一樣。但德國數學家莫比烏斯(1790~1868)在1858年發現了莫比烏斯曲面。這種曲面就不能用不同的顏色來塗滿兩個側面。 拓撲變換的不變性、不變數還有很多,這裡不在介紹。 拓撲學建立後,由於其它數學學科的發展需要,它也得到了迅速的發展。特別是黎曼創立黎曼幾何以後,他把拓撲學概念作為分析函式論的基礎,更加促進了拓撲學的進展。 二十世紀以來,集合論被引進了拓撲學,為拓撲學開拓了新的面貌。拓撲學的研究就變成了關於任意點集的對應的概念。拓撲學中一些需要精確化描述的問題都可以應用集合來論述。 因為大量自然現象具有連續性,所以拓撲學具有廣泛聯絡各種實際事物的可能性。透過拓撲學的研究,可以闡明空間的集合結構,從而掌握空間之間的函式關係。本世紀三十年代以後,數學家對拓撲學的研究更加深入,提出了許多全新的概念。比如,一致性結構概念、抽象距概念和近似空間概念等等。有一門數學分支叫做微分幾何,是用微分工具來研究取線、曲面等在一點附近的彎曲情況,而拓撲學是研究曲面的全域性聯絡的情況,因此,這兩門學科應該存在某種本質的聯絡。1945年,美籍中國數學家陳省身建立了代數拓撲和微分幾何的聯絡,並推進了整體幾何學的發展。 拓撲學發展到今天,在理論上已經十分明顯分成了兩個分支。一個分支是偏重於用分析的方法來研究的,叫做點集拓撲學,或者叫做分析拓撲學。另一個分支是偏重於用代數方法來研究的,叫做代數拓撲。現在,這兩個分支又有統一的趨勢。 拓撲學在泛函分析、李群論、微分幾何、微分方程額其他許多數學分支中都有廣泛的應用
拓撲學的英文名是Topology,直譯是地誌學,也就是和研究地形、地貌相類似的有關學科。中國早期曾經翻譯成“形勢幾何學”、“連續幾何學”、“一對一的連續變換群下的幾何學”,但是,這幾種譯名都不大好理解,1956年統一的《數學名詞》把它確定為拓撲學,這是按音譯過來的。 拓撲學是幾何學的一個分支,但是這種幾何學又和通常的平面幾何、立體幾何不同。通常的平面幾何或立體幾何研究的物件是點、線、面之間的位置關係以及它們的度量性質。拓撲學對於研究物件的長短、大小、面積、體積等度量性質和數量關係都無關。 舉例來說,在通常的平面幾何裡,把平面上的一個圖形搬到另一個圖形上,如果完全重合,那麼這兩個圖形叫做全等形。但是,在拓撲學裡所研究的圖形,在運動中無論它的大小或者形狀都發生變化。在拓撲學裡沒有不能彎曲的元素,每一個圖形的大小、形狀都可以改變。例如,前面講的尤拉在解決哥尼斯堡七橋問題的時候,他畫的圖形就不考慮它的大小、形狀,僅考慮點和線的個數。這些就是拓撲學思考問題的出發點。 拓撲性質有那些呢?首先我們介紹拓撲等價,這是比較容易理解的一個拓撲性質。 在拓撲學裡不討論兩個圖形全等的概念,但是討論拓撲等價的概念。比如,儘管圓和方形、三角形的形狀、大小不同,在拓撲變換下,它們都是等價圖形。左圖的三樣東西就是拓撲等價的,換句話講,就是從拓撲學的角度看,它們是完全一樣的。 在一個球面上任選一些點用不相交的線把它們連線起來,這樣球面就被這些線分成許多塊。在拓撲變換下,點、線、塊的數目仍和原來的數目一樣,這就是拓撲等價。一般地說,對於任意形狀的閉曲面,只要不把曲面撕裂或割破,他的變換就是拓撲變幻,就存在拓撲等價。 應該指出,環面不具有這個性質。比如像左圖那樣,把環面切開,它不至於分成許多塊,只是變成一個彎曲的圓桶形,對於這種情況,我們就說球面不能拓撲的變成環面。所以球面和環面在拓撲學中是不同的曲面。 直線上的點和線的結合關係、順序關係,在拓撲變換下不變,這是拓撲性質。在拓撲學中曲線和曲面的閉合性質也是拓撲性質。 我們通常講的平面、曲面通常有兩個面,就像一張紙有兩個面一樣。但德國數學家莫比烏斯(1790~1868)在1858年發現了莫比烏斯曲面。這種曲面就不能用不同的顏色來塗滿兩個側面。 拓撲變換的不變性、不變數還有很多,這裡不在介紹。 拓撲學建立後,由於其它數學學科的發展需要,它也得到了迅速的發展。特別是黎曼創立黎曼幾何以後,他把拓撲學概念作為分析函式論的基礎,更加促進了拓撲學的進展。 二十世紀以來,集合論被引進了拓撲學,為拓撲學開拓了新的面貌。拓撲學的研究就變成了關於任意點集的對應的概念。拓撲學中一些需要精確化描述的問題都可以應用集合來論述。 因為大量自然現象具有連續性,所以拓撲學具有廣泛聯絡各種實際事物的可能性。透過拓撲學的研究,可以闡明空間的集合結構,從而掌握空間之間的函式關係。本世紀三十年代以後,數學家對拓撲學的研究更加深入,提出了許多全新的概念。比如,一致性結構概念、抽象距概念和近似空間概念等等。有一門數學分支叫做微分幾何,是用微分工具來研究取線、曲面等在一點附近的彎曲情況,而拓撲學是研究曲面的全域性聯絡的情況,因此,這兩門學科應該存在某種本質的聯絡。1945年,美籍中國數學家陳省身建立了代數拓撲和微分幾何的聯絡,並推進了整體幾何學的發展。 拓撲學發展到今天,在理論上已經十分明顯分成了兩個分支。一個分支是偏重於用分析的方法來研究的,叫做點集拓撲學,或者叫做分析拓撲學。另一個分支是偏重於用代數方法來研究的,叫做代數拓撲。現在,這兩個分支又有統一的趨勢。 拓撲學在泛函分析、李群論、微分幾何、微分方程額其他許多數學分支中都有廣泛的應用