在直角三角形中，若以a、b表示兩條直角邊，c表示斜邊，勾股定理可以表述為a2+b2=c2。 滿足這個等式的正整數a、b、c叫做一組勾股數。 例如（3、4、5），（5、12、13），（6、8、10），（7、24、25）等一組一組的數，每一組都能滿足a2+b2=c2，因此它們都是勾股陣列（其中3、4、5是最簡單的一組勾股數）。顯然，若直角三角形的邊長都為正整數，則這三個數便構成一組勾股數；反之，每一組勾股數都能確定一個邊長是正整數的直角三角形。因此，掌握確定勾股陣列的方法對研究直角三角形具有重要意義。 1．任取兩個正整數m、n，使2mn是一個完全平方數，那麼 c=2+9+6=17。 則8、15、17便是一組勾股數。 證明： ∴a、b、c構成一組勾股數 2．任取兩個正整數m、n、(m＞n)，那麼 a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2構成一組勾股數。 例如：當m=4，n=3時， a=42-32=7,b=2×4×3=24，c=42+32=25 則7、24、25便是一組勾股數。 證明： ∵ a2+b2=(m2-n2)+(2mn)2 =m4-2m2n2+n4+4m2n2 =m4+2m2n2+4n2 =(m2+n2)2 =c2 ∴a、b、c構成一組勾股數。 3．若勾股陣列中的某一個數已經確定，可用如下的方法確定另外兩個數。 首先觀察已知數是奇數還是偶數。 (1)若是大於1的奇數，把它平方後拆成相鄰的兩個整數，那麼奇數與這兩個整數構成一組勾股數。 例如9是勾股數中的一個數， 那麼9、40、41便是一組勾股數。 證明：設大於1的奇數為2n+1，那麼把它平方後拆成相鄰的兩個整數為 (2)若是大於2的偶數，把它除以2後再平方，然後把這個平方數分別減1，加1所得到的兩個整數和這個偶數構成一組勾股數。 例如8是勾股陣列中的一個數。 那麼8、15，17便是一組勾股數。 證明：設大於2的偶數2n，那麼把這個偶數除以2後再平方，然後把這個平方數分別減1，加1所得的兩個整數為n2-1和n2+1 ∵(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1 =n4+2n2+1 =(n2+1)2 ∴2n、n2-1、n2+1構成一組勾股數。
在直角三角形中，若以a、b表示兩條直角邊，c表示斜邊，勾股定理可以表述為a2+b2=c2。 滿足這個等式的正整數a、b、c叫做一組勾股數。 例如（3、4、5），（5、12、13），（6、8、10），（7、24、25）等一組一組的數，每一組都能滿足a2+b2=c2，因此它們都是勾股陣列（其中3、4、5是最簡單的一組勾股數）。顯然，若直角三角形的邊長都為正整數，則這三個數便構成一組勾股數；反之，每一組勾股數都能確定一個邊長是正整數的直角三角形。因此，掌握確定勾股陣列的方法對研究直角三角形具有重要意義。 1．任取兩個正整數m、n，使2mn是一個完全平方數，那麼 c=2+9+6=17。 則8、15、17便是一組勾股數。 證明： ∴a、b、c構成一組勾股數 2．任取兩個正整數m、n、(m＞n)，那麼 a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2構成一組勾股數。 例如：當m=4，n=3時， a=42-32=7,b=2×4×3=24，c=42+32=25 則7、24、25便是一組勾股數。 證明： ∵ a2+b2=(m2-n2)+(2mn)2 =m4-2m2n2+n4+4m2n2 =m4+2m2n2+4n2 =(m2+n2)2 =c2 ∴a、b、c構成一組勾股數。 3．若勾股陣列中的某一個數已經確定，可用如下的方法確定另外兩個數。 首先觀察已知數是奇數還是偶數。 (1)若是大於1的奇數，把它平方後拆成相鄰的兩個整數，那麼奇數與這兩個整數構成一組勾股數。 例如9是勾股數中的一個數， 那麼9、40、41便是一組勾股數。 證明：設大於1的奇數為2n+1，那麼把它平方後拆成相鄰的兩個整數為 (2)若是大於2的偶數，把它除以2後再平方，然後把這個平方數分別減1，加1所得到的兩個整數和這個偶數構成一組勾股數。 例如8是勾股陣列中的一個數。 那麼8、15，17便是一組勾股數。 證明：設大於2的偶數2n，那麼把這個偶數除以2後再平方，然後把這個平方數分別減1，加1所得的兩個整數為n2-1和n2+1 ∵(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1 =n4+2n2+1 =(n2+1)2 ∴2n、n2-1、n2+1構成一組勾股數。