3， 4， 5
5 ，12 ，13
7， 24 ，25
9 ，40 ，41
11， 60 ，61
13 ，84， 85
15， 112 ，113
8，15，17
12，35，37
48，55，73
勾股數，又名畢氏三元數 。勾股數就是可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數。勾股定理：直角三角形兩條直角邊a、b的平方和等於斜邊c的平方（a?b?c病? 勾股定理在西方被稱為Pythagoras定理，它以公元前6世紀希臘哲學家和數學家的名字命名。可以有理由認為他是數學中最重要的基本定理之一，因為他的推論和推廣有著廣泛的引用。
雖然這樣稱呼，他也是古代文明中最古老的定理之一，實際上比Pythagoras早一千多年的古巴比倫人就已經發現了這一定理，在Plimpton 322泥板上的數表提供了這方面的證據，這塊泥板的年代大約是在公元前1700年。對勾股定理的證明方法，從古至今已有400餘種。
擴充套件資料：
證明
a=2mn
b=m?n? c=m?n? 證：
假設a?b?c玻飫鋂芯?a,b)=1的情況（如果不等於1則(a,b)|c，兩邊除以(a,b)即可）
如果a,b均奇數，則a?+ b?= 2(mod 4)（奇數mod4餘1），而2不是模4的二次剩餘，矛盾，所以必定存在一個偶數。不妨設a=2k
等式化為4k?= (c+b)(c-b)
顯然b,c同奇偶（否則右邊等於奇數矛盾）
作代換：M=(c+b)/2, N=(c-b)/2，顯然M，N為正整數
往證：(M,N)=1
如果存在質數p，使得p|M,p|N, 那麼p|M+N(=c), p|M-N(=b), 從而p|c, p|b, 從而p|a，這與(a,b)=1矛盾
所以(M,N)=1得證。
依照算術基本定理，k?= p乤仭羛俛偂羛僡儭痢渲衋?a偂際琾?p?p儭適? 如果對於某個pi，M的pi因子個數為奇數個，那N對應的pi因子必為奇數個（否則加起來不為偶數），從而pi|M, pi|N，(M,N)=pi>1與剛才的證明矛盾 所以對於所有質因子,pi瞸M, pi瞸N，即M，N都是平方數。
設M = m? N = n? 從而有c+b = 2m? c-b = 2n玻獾胏=m?n? b=m?n? 從而a=2mn
推廣形式
關於勾股數的公式還是有侷限的。勾股數公式可以得到所有的基本勾股數，但是不可能得到所有的派生勾股數。比如3，4，5；6，8，10；9，12，15...，就不能全部有公式計算出來 [5] 。
但可以採用同乘以任意整數的形式來獲取所有解！
其中規定m>n>0（兩負數相乘可抵消固不考慮），(m,n)=1，m和n必須為一奇一偶，t為正整數。
3， 4， 5
5 ，12 ，13
7， 24 ，25
9 ，40 ，41
11， 60 ，61
13 ，84， 85
15， 112 ，113
8，15，17
12，35，37
48，55，73
勾股數，又名畢氏三元數 。勾股數就是可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數。勾股定理：直角三角形兩條直角邊a、b的平方和等於斜邊c的平方（a?b?c病? 勾股定理在西方被稱為Pythagoras定理，它以公元前6世紀希臘哲學家和數學家的名字命名。可以有理由認為他是數學中最重要的基本定理之一，因為他的推論和推廣有著廣泛的引用。
雖然這樣稱呼，他也是古代文明中最古老的定理之一，實際上比Pythagoras早一千多年的古巴比倫人就已經發現了這一定理，在Plimpton 322泥板上的數表提供了這方面的證據，這塊泥板的年代大約是在公元前1700年。對勾股定理的證明方法，從古至今已有400餘種。
擴充套件資料：
證明
a=2mn
b=m?n? c=m?n? 證：
假設a?b?c玻飫鋂芯?a,b)=1的情況（如果不等於1則(a,b)|c，兩邊除以(a,b)即可）
如果a,b均奇數，則a?+ b?= 2(mod 4)（奇數mod4餘1），而2不是模4的二次剩餘，矛盾，所以必定存在一個偶數。不妨設a=2k
等式化為4k?= (c+b)(c-b)
顯然b,c同奇偶（否則右邊等於奇數矛盾）
作代換：M=(c+b)/2, N=(c-b)/2，顯然M，N為正整數
往證：(M,N)=1
如果存在質數p，使得p|M,p|N, 那麼p|M+N(=c), p|M-N(=b), 從而p|c, p|b, 從而p|a，這與(a,b)=1矛盾
所以(M,N)=1得證。
依照算術基本定理，k?= p乤仭羛俛偂羛僡儭痢渲衋?a偂際琾?p?p儭適? 如果對於某個pi，M的pi因子個數為奇數個，那N對應的pi因子必為奇數個（否則加起來不為偶數），從而pi|M, pi|N，(M,N)=pi>1與剛才的證明矛盾 所以對於所有質因子,pi瞸M, pi瞸N，即M，N都是平方數。
設M = m? N = n? 從而有c+b = 2m? c-b = 2n玻獾胏=m?n? b=m?n? 從而a=2mn
推廣形式
關於勾股數的公式還是有侷限的。勾股數公式可以得到所有的基本勾股數，但是不可能得到所有的派生勾股數。比如3，4，5；6，8，10；9，12，15...，就不能全部有公式計算出來 [5] 。
但可以採用同乘以任意整數的形式來獲取所有解！
其中規定m>n>0（兩負數相乘可抵消固不考慮），(m,n)=1，m和n必須為一奇一偶，t為正整數。