題設不成立，可以證反。例如(1/49)的平方根，為0.142856…………，開不盡但不是無理數。同樣的反例還有很多。

什麼叫開不盡平方呢？我們從它的反面來理解相對容易一些。 與“開不盡平方”相對是“開得盡平方”。

何謂開得盡平方呢？比如：4，9，100，0.25，1/4，0等等這些有理數都是開得盡平方的數。即√4=2，√9=3，√100=10，√0.25=0.5，√1/4=1/2，√0=0（為簡便計，僅考慮算術平方根）。 而4=2的平方（為簡便計，不考慮負數，下同），9=3的平方，100=10的平方。。。0=0的平方。

由此可知，所謂開得盡平方的數必須同時具備以下兩個特徵：

（1）這個數本身是有理數；

（2）這個數可以寫成另外一個有理數的平方的形式。

再舉例驗證，比如有理數0.16，它可以寫成0.4的平方，即0.16=0.4^2，0.4也是有理數， 因為0.16具備了上述兩個特徵，所以0.16是開得盡平方的數。

換言之，不具備上述兩個特徵的數，就是開不盡平方的數。

比如有理數2可以寫成哪個有理數的平方嗎？不能！ 象2，3，5，7，10。。。等等就只是滿足特徵（1），未滿足特徵（2），因而有理數2，3，5，7，10。。。是開不盡平方的數。

再比如：圓周率π，無理數√5，尤拉常數e等，以上兩個特徵都不滿足，因而無理數π，√5，e等也是開不盡平方的數。

由此看來開不盡平方的數既有有理數，也有無理數。因而凡是開不盡平方的數都是無理數，這個說法是錯誤的，是假命題。 我不能證真，只能證偽。

正如蘋果是水果，但水果不一定是蘋果一樣。蘋果與水果絕不等同。

分析題主錯誤的原因：題主把開不盡平方的數等同於無理數了，這是初學者極易犯的錯誤。 無理數是開不盡平方的數，但開不盡平方的數不一定是無理數！ 換一句話說，無理數是開不盡平方的數，這個命題是真命題，但其逆命題是假命題。

【做個小測驗】

請判斷以下命題的真假： （1）無理數是無限小數； （2）無限小數是無理數； （3）帶根號的數是無理數； （4）無理數是帶根號的數。

按我的理解，題主問的是：象根號2（2的平方根）這樣的一類數，為什麼是無理數？

有的答主認為2這個數開平方就不能“開盡”，但2不是無理數，所以命題本身不成立。但題主這個問題所針對的物件，顯然不是2，而是根號2。

“開不盡”是個什麼意思呢？沒有嚴格的數學定義，似乎有點不好說。我唯一所能想到的，只能是一個比較直觀的理解，即：“對於這種帶根號（不一定是平方根）的數，如果開方運算的結果不是一個有理數的話，哪麼就把這個帶根號的數稱為【開不盡】。”這個定義下得似乎有點粗糙，不知道有沒有毛病，暫時先這樣將就著用吧！

給出對“開不盡”的定義以後，再回過頭來看題主的問題描述，就能看得更清楚一些了：如果某個帶根號的數能夠“開得盡”的話——比如根號49，哪麼它顯然就是一個有理數了。所以，題主這個問題，其實等價於：為什麼不是有理數的實數，都是無理數？

這樣的問題就很沒有道理了，因為實數的定義就是有理數和無理數的集合。你把這個集合裡面的全部有理數都排除掉了，剩下的當然就只能是無理數囉——這有啥好“證明”的呢？即便勉強給出一個“證明”，那也必定是一個變相的迴圈論證，沒有什麼數理邏輯可言！

如果一定要給出一個回答，那就是：實數、無理數、有理數的定義，決定了這一切！

PS：古代數學家一度曾經認為，幾何就只一種（歐氏幾何）。後來才發現，其實還有兩種不同的非歐幾何。按照我們現在學習的數學，實數就是有理數跟無理數的集合——這其實是我們對眼中的世界的一種抽象認識，我們認為符合這種認識的數學，才是“真實”或者“有用”的數學。但是，是否還存在著另外一種“數學”，在它裡面，實數是由有理數、無理數以及另外的一些東東共同組成的呢？這個問題就不是我所能知道的了，留待高人指點吧！

不過，我倒覺得，即便存在對這樣古怪的知識體型的客觀需求的話，數學家多半也會另外定義幾個專門的數學概念，以免造成混淆！畢竟多數數學家自己也是比較拍麻煩的。

以上。