本文之解答，且作《無理數的本質》，得益於追問無理數的物理意義，旋轉是運動的基本形式。

先來看無理數√2的產生。在平面直角座標系的第一象限上，以單位1畫圓，可得到長π/2的圓弧與等腰三角形，等腰三角形的底是圓弧的弦。底與弧，是孿生姐妹。

即旋轉θ=90°，就有弧π/2與弦√2，是差距不大的孿生無理數。以下推而廣之：

若旋轉θ=30°，就有π/6與√？，是差距較小的的孿生無理數。

若旋轉足夠小角度θ=Δ：就有π/∞=Δ可以相等的孿生無理數。

由此可見：圓周率分割的無理數與二次方根下的無理數，總是一對孿生無理數。可推：無理數來自旋轉操作，有理數來自直線操作。

換句話說：二次方根是二維操作的低階無理數，一次方根，是一維操作的有理數。

不難證明：三次方根是三維操作的中級無理數，四次方根是四維操作的高階無理數。超四維操作，就叫超級無理數吧。

無獨有偶，自然常數e，作為無理數，也是來自旋轉，是以半徑為1之單位圓的外展。

因此，所有的無理數，都只與旋轉操作有關，與進位制，諸如十進位制、二進位制、八進位制、六十進位制等，是沒有關係的。

好了，本答stop here。請關注物理新視野，共同切磋物理邏輯與中英雙語的疑難問題。

無理數的產生，可以說是歷史的必然，與採用什麼進位制沒有關係。

古希臘的數學非常發達，以畢達哥拉斯學派最為有名。畢達哥拉斯曾遊歷多國。學識非常淵博，他後來招收了300多弟子（有點類似於孔子）。畢達哥拉斯學派對數學貢獻很大，其中最著名的就是畢達哥拉斯定理（勾股定理），據說當時曾屠殺了一百頭牛擺宴慶祝，所以畢達哥拉斯定理也被稱為百牛定理。

畢達哥拉斯學派提倡一種唯數論的哲學觀，認為宇宙間的本質是數的和諧，一切事物都必須而且只能透過數學得到解釋。該學派的信條是，宇宙間的一切現象都可以歸結為整數或整數與整數的比（可公度）。例如任意兩條不相等的線段，總有一個最大的公度線段，利用的工具是圓規，方法其實就是輾轉相除法（更相減損法）。如下圖中AB與CDG兩條線段，求其最大公度線段。

步驟1、線上段AB上用圓規從一端A起，連續擷取長度為CD的線段，使擷取的次數儘可能的多。若沒有剩餘則CD就是最大公度線段；若有剩餘，則設剩餘線段為EB(EB<CD)。

2、線上段CD上，連續擷取長度為EB的線段,若沒有剩餘則EB就是最大公度線段；若有剩餘，則設剩餘線段為FD(FD<CF)。

3、線上段CF上，連續擷取長度為FD的線段，正好沒有剩餘。

畢達哥拉斯學派的一個成員希帕索斯透過邏輯推理的方式發現：等腰直角三角形的斜邊與其直角邊是不存在最大公度線段的，也就是等腰直角三角形中三角斜邊與直角邊是不能用整數比表示的。

在上邊這個圖中，AD=AC,過點D做DE垂直於AB交CB於點E。角ECD=角EDC,三角形EDB也是等腰直角三角形，所以線段CE=ED=BD(也就是相當於用圓規進行了擷取)，於是問題轉化成為求取線段EB與ED的最大公度線段問題。由於在直角三角形中斜邊總是大於直角邊的，所以這個過程可以無限進行下去，是沒有頭的，也就是最初的線段AB與AC是不存在公度線段的。希帕索斯正因為發現了這個事情（客觀上也就是發現了無理數），所以被沉在了海里。

透過上面的故事，大家可以發現，無理數其實與使用何種進位制是沒有關係的。就好比用二進位制表示根號2也是無法表示成分數一樣，如果表示成二進位制小數與是無限不迴圈的。

無理數的產生，

無理數的產生與“平面幾何”開平方，有密切關聯，

√2，√3，√5，√7，√11都是著名的無理數。

π也是著名的無理數，

有理數可以為p/q, p,q均為整數

這類無理數都源於理想平直平面

在物理世界普朗克尺度是量子化的，也不存在絕對理想平直的平面，

實驗物理學裡其實無理數是一個人為的存在。