量子拓撲介紹
量子拓撲修飾的是拓撲，也就是用量子場論的辦法來研究拓撲學。首先關於什麼是拓撲學，參見我前面的問答。總的來說，拓撲研究的是在連續變換下不變的性質，關心的是整體的幾何結構。其中有一個重要概念是引進了拓撲不變數，用以判別兩個拓撲空間是否相同。
所謂量子拓撲，就是將量子場論的原理方法和技巧，應用到拓撲學的研究。最重要的例子恐怕就是Witten在1989年寫的著名論文---Quantum Field Theory and the Jones Polynomial（量子場論和瓊斯多項式）。
在這篇文章中，Witten將三維流形M上的Chern-Simon 泛函做量子化，這裡Witten採用的是路徑積分的方式做量子化，然後Witten說這樣得到的配分函式Z(M)是一個三維流形的拓撲不變數，其實這也很容易理解，雖然在定義Chern-Simon 泛函CS(A)的時候，我們需要M上的聯絡A，但是做路徑積分以後，也就是在M的所有聯絡構成的空間上積分以後，那麼得到的配分函式就不再依賴於度量和聯絡A，只跟M的拓撲結構有關了。
Witten的這個構造，現在被稱為Witten-Chern-Simons量子場論。而這個量子場論給出的配分函式Z(M)是一個拓撲不變數，這就是透過量子場論的辦法來構造拓撲不變數的最好例子，這樣的拓撲不變數，也叫量子不變數。量子不變數的出現，極大的豐富了低維拓撲學的研究內容，因為它給出了很多新的拓撲不變數。量子不變數也是量子拓撲最主要的研究物件。
當然，從數學上看，路徑積分是不嚴格的，要真正把Witten的構造從數學上嚴格實現出來，這後來是由Reshetikhin和 Turaev 完成，他們最終用量子群的表示理論嚴格構造出了Witten預言的量子不變數。
何為拓撲量子？我想通常就是指拓撲量子場論，拓撲量子計算等術語。所謂拓撲量子場論，寬泛的說就是和有一定拓撲不變性的量子場論。所以上面提到的Witten-Chern-Simons量子場論就是一種拓撲量子場論。在Witten的工作以後，受Siegal定義共形場論的啟發，Atiyah 專門寫了一篇論文，如何從數學上定義拓撲量子場論。他把拓撲量子場論抽象的定義為滿足一定公理的兩個範疇之間的函子。
在這個框架下，Witten-Chern-Simons量子場論，紐結不變數，Gromov-Witten不變數，Donaldson不變數等都成為了拓撲量子場論下的具體例子。拓撲量子場論是現代幾何拓撲的一個重要研究方向。
量子拓撲介紹
量子拓撲修飾的是拓撲，也就是用量子場論的辦法來研究拓撲學。首先關於什麼是拓撲學，參見我前面的問答。總的來說，拓撲研究的是在連續變換下不變的性質，關心的是整體的幾何結構。其中有一個重要概念是引進了拓撲不變數，用以判別兩個拓撲空間是否相同。
所謂量子拓撲，就是將量子場論的原理方法和技巧，應用到拓撲學的研究。最重要的例子恐怕就是Witten在1989年寫的著名論文---Quantum Field Theory and the Jones Polynomial（量子場論和瓊斯多項式）。
在這篇文章中，Witten將三維流形M上的Chern-Simon 泛函做量子化，這裡Witten採用的是路徑積分的方式做量子化，然後Witten說這樣得到的配分函式Z(M)是一個三維流形的拓撲不變數，其實這也很容易理解，雖然在定義Chern-Simon 泛函CS(A)的時候，我們需要M上的聯絡A，但是做路徑積分以後，也就是在M的所有聯絡構成的空間上積分以後，那麼得到的配分函式就不再依賴於度量和聯絡A，只跟M的拓撲結構有關了。
Witten的這個構造，現在被稱為Witten-Chern-Simons量子場論。而這個量子場論給出的配分函式Z(M)是一個拓撲不變數，這就是透過量子場論的辦法來構造拓撲不變數的最好例子，這樣的拓撲不變數，也叫量子不變數。量子不變數的出現，極大的豐富了低維拓撲學的研究內容，因為它給出了很多新的拓撲不變數。量子不變數也是量子拓撲最主要的研究物件。
當然，從數學上看，路徑積分是不嚴格的，要真正把Witten的構造從數學上嚴格實現出來，這後來是由Reshetikhin和 Turaev 完成，他們最終用量子群的表示理論嚴格構造出了Witten預言的量子不變數。
何為拓撲量子？我想通常就是指拓撲量子場論，拓撲量子計算等術語。所謂拓撲量子場論，寬泛的說就是和有一定拓撲不變性的量子場論。所以上面提到的Witten-Chern-Simons量子場論就是一種拓撲量子場論。在Witten的工作以後，受Siegal定義共形場論的啟發，Atiyah 專門寫了一篇論文，如何從數學上定義拓撲量子場論。他把拓撲量子場論抽象的定義為滿足一定公理的兩個範疇之間的函子。
在這個框架下，Witten-Chern-Simons量子場論，紐結不變數，Gromov-Witten不變數，Donaldson不變數等都成為了拓撲量子場論下的具體例子。拓撲量子場論是現代幾何拓撲的一個重要研究方向。