幾何拓撲的研究範圍是很寬泛的，過去人們習慣把純數學的研究方向分為分析，方程，代數，數論，幾何，機率等。不過在真正研究過程中，一個好的數學問題往往會涉及到很多知識方法。比如做幾何的，經常會用分析，方程，代數等方法。很多做幾何的研究學者，在分析或代數上的造詣比超過專門做分析或代數的。關於題主的這個問題，我想透過介紹一下現代幾何拓撲研究的幾個主要的方向來回答。第一個我想是以丘成桐為代表的幾何分析，這是目前華人參與最多的幾何拓撲研究方向。主要原因當然是因為丘成桐在華人圈的影響力，他帶出了一大批的追隨者。幾何分析中一個主要工具是幾何流，包括Ricci流， Kahler-Ricci流，平均曲率流，本質上就是流形上的方程。用這些流來解決幾何中的問題， 是幾何分析中的一個重要手段。最著名的就是Hamilton發明的Ricci流最終被用來證明了龐加萊猜想。幾何分析還包括其他著名非線性方程比如蒙日安培方程，愛因斯坦方程的研究。第二個是以Thurston,Freedman,Sullivan 這些美國數學家為代表的低維拓撲研究方向。這裡面其他知名的數學家還有1998年的Fields獎得主McMullen，以及他曾經的女博士---第一個女Fields得主Mirzakhani。還有解決了Haken猜想的Agol,以及Gabai等很多幾何拓撲學家。他們在二維，三維，四維這些低維的幾何拓撲研究中做出了大量貢獻。在低維拓撲中，還有部分研究和物理中的Gauge theory相關，比如Donaldson當年的成名之作，還有以Hitchin為代表的這些英國幾何拓撲學派的工作。還有Taubes，Mrowka，以及Ozsváth和Szabó等人的工作。另外還有跟Witten的Chern-Simons量子場論以及拓撲量子場論相關的所謂量子拓撲領域，這也是一個很大的一個方向，可參見我前面對於量子拓撲問題的回答。接下來，我想到是以Griffith為代表的復代數幾何學派。Griffith繼承了Kodaria-Spencer的復幾何研究，發展了Hodge結構變分理論。最重要的是他帶出了眾多弟子，影響深遠。做復幾何研究的另外一些數學家來自多復變出身，比如Siu, Demailly,他們的工作需要艱深的複分析功底。再就是辛幾何、辛拓撲研究方向，這個領域水很深，牛人也很多，比較有名的有Gromov, Hofer，Fukaya,McDuff，Givental，Seidal等等，還有一些後起之秀，比如John Pardon。辛幾何和復幾何同超弦理論中的映象對稱密切關聯。一旦到了同調映象對稱，Fukaya範疇，這裡又有很多值得研究的內容。 最後可能還要提的就是所謂匯出幾何，俄羅斯學派比如Kontsevich, Kapanov。這個方向高度抽象，用到很多代數工具。

總之，現代幾何拓撲學的研究內容已經非常廣泛，其中可以涉及和用到各種數學工具。突然想到上面其實還漏提了很多方向，總之，幾何拓撲研究太多太廣了，上面之舉了一些例子而已。

我想對這麼多方向以及用到的數學工具有個大概瞭解就行，重要的是能夠在其中找到自己喜歡的方向和問題，深入研究。

拓撲的基本定義就是集合冪集族，或就是集合的集合。任何一個集合都是定義了某個性質的元素的聚合，即任何集合都必須至少有一個性質，還要滿足自洽、完備性。

假設一個集合X為(a，b，c)，則其子集有(a)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，(a，b，c)，((a)，(a，b))，…，其子集可有無窮多，其子集族形成的集合就叫拓撲。即使集合X是有限元素，但形成的拓撲可以是無限集。而且形成的拓撲還可形一個空間或群。

比如，三維座標系，空間點(x，y，z)，空間的一個圖形就可認為是空間點集的子集族形成的一個拓撲。那麼，由此可推出四維空間形成的圖形或拓撲、五維、六維…，直到n維。所以高維空間也都可這麼理解，其上的性質也可做為拓撲性質理解。

目前，所有物理空間都可納入到拓撲領域研究，包括資訊空間，例如，二進位制八位迴圈碼組成的資訊空間，這就可看作是這個八位碼集族組成的一個拓撲空間。這裡有等長碼集族拓撲和非等長碼集族拓撲。

DNA由4種鹼基對組成，組成16進位制非等長碼集族拓撲，形成的生物資訊拓撲空間。人的各種本質屬性都是這個拓撲空間的性質。

廣義相對論就是建立在時空中曲率形成的拓撲空間上，形成一個悖論形式，或自洽形式，或守恆形式。實際上是在這個拓撲空間定義了一個運算元空間。這個運算元反過來運作在曲率資訊量上。

量子力學也是建立在時空中機率形成的拓撲空間上，形成一個悖論形式，或自洽形式，或守恆形式。也是在這個拓撲空間上定義了一個運算元空間。這個運算元反過來運作在機率資訊量上。