映象對稱簡介
關於映象對稱，我最早是在本格林的科普書《宇宙的琴絃》一書中讀到。在這本書中，大概在很後面的章節，B Greene深情回憶了他在上世紀80年代末和他的合作者Plesser怎麼發現映象對稱這段往事。那是一段激動人心的科學發現之旅。也正是這本書，讓我開始對弦理論中的數學產生了極大的興趣。
映象對稱起源於超弦理論。超弦學家發現弦理論有多種不同版本的描述，它們之間又可以透過神秘的對偶性聯絡在一起。映象對稱描述了這其中A-模型和B-模型之間的對偶性。
要敘述映象對稱，我們首先要先提一下卡丘流形。超弦理論需要在10維的時空中才有效，其中的6維恰好就是復3維（實6維）的卡丘流形。這種流形具有平坦的Ricci曲率的凱勒度量，這種度量的存在性由丘成桐完成證明。由於在數學上這本身是卡拉比提的一個猜想，所以現在這種流形就被稱為卡丘流形。
映象對稱首先說存在兩種不同的卡丘3-流形，它們互為映象，數學上一個簡單描述為這對映象流形的(1,1)-霍奇數和（2,1）-霍奇數是相互交換的，而(1,1)-霍奇數和（2,1）-霍奇數分別反應凱勒流形上辛結構和復結構的多少，所以映象對稱預測了這對映象流形的辛結構和復結構之間的對偶性。兩種不同性質的結構透過映象對稱就聯絡在了一起，這正是映象對稱的神奇之處！
我們假定這兩個互為映象對偶的卡丘3-流形，分別記為X和Y。接下來，映象對稱預言，在X上的A模型弦理論等價於在Y上構造的B模型弦理論。
這就是 Greene和Plesser 在上世紀80年代末的重要發現。當然他們也是基於Dixon, Vafa 等人的工作基礎之上。Greene那時應該是丘成桐在哈佛的博士後。
真正將映象對稱帶入數學領域，在數學界引起波瀾的是1991年Candelas等人的工作。那一年Candelas, Green, Ossa, Parkes發表了他們最出名的文章，他們具體的實現了映象對稱的計算，並將其應用到計數幾何中。 具體來說，他們詳細計算了一個叫Quintic的卡丘3流形上的弦理論的重要物理量。這個Quintic上的A模型的計算，根據映象對稱，就完全可以透過這個Quintic的映象流形（稱為映象Quintic）上的B模型理論來完成。
在數學上，Quintic上的A模型的計算給出了Quintic的有理曲線的計算公式，過去數學家只能一個個的算，而有了映象對稱，在B-模型這邊，只需要解一個所謂的Picard-Fuchs方程（它是映象Quintic的週期積分的限制方程）就能計算出來。而這個解預言能給出Quintic所有degree的有理曲線的計算公式！
這裡還有個小插曲，計算Quintic中的有理曲線數目這個事情本來是數學家要做的事情。這屬於數學中一個叫做計數幾何的古老領域，當度為1和2時候，這樣的有理曲線數目當時數學家已經計算出來了，分別為2875和609250。Candelas斷言說他們的公式可以給出所有的計數。比如度為3時，這個計數是317206375。
有兩位這個領域的數學家Ellingsrud和Stein一開始並不相信他們的結果，因為他們透過複雜的數學技巧，用計算機計算出來不是數。不過後來Ellingsrud和Stein重新檢查程式後，最終認定Candelas等人的計算結果是正確的。
從這以後，數學家們意識到了映象對稱的重要性，開始研究映象對稱，從此成為了數學中一個熱門的研究課題。
接下來的故事，就是首先Kontsevich定義了穩定對映的模空間，引進區域性化的技巧計算A模型理論。然後Candalas等人提出的計算公式，最終由B.Lian-劉克峰-丘成桐以及Givental分別完成證明。
後來，就是SYZ，同調映象對稱登上了研究的舞臺，成為了當前熱門的研究方向，前幾年由於Simons開始資助，這個方向最近幾年特別熱鬧。
映象對稱簡介
關於映象對稱，我最早是在本格林的科普書《宇宙的琴絃》一書中讀到。在這本書中，大概在很後面的章節，B Greene深情回憶了他在上世紀80年代末和他的合作者Plesser怎麼發現映象對稱這段往事。那是一段激動人心的科學發現之旅。也正是這本書，讓我開始對弦理論中的數學產生了極大的興趣。
映象對稱起源於超弦理論。超弦學家發現弦理論有多種不同版本的描述，它們之間又可以透過神秘的對偶性聯絡在一起。映象對稱描述了這其中A-模型和B-模型之間的對偶性。
要敘述映象對稱，我們首先要先提一下卡丘流形。超弦理論需要在10維的時空中才有效，其中的6維恰好就是復3維（實6維）的卡丘流形。這種流形具有平坦的Ricci曲率的凱勒度量，這種度量的存在性由丘成桐完成證明。由於在數學上這本身是卡拉比提的一個猜想，所以現在這種流形就被稱為卡丘流形。
映象對稱首先說存在兩種不同的卡丘3-流形，它們互為映象，數學上一個簡單描述為這對映象流形的(1,1)-霍奇數和（2,1）-霍奇數是相互交換的，而(1,1)-霍奇數和（2,1）-霍奇數分別反應凱勒流形上辛結構和復結構的多少，所以映象對稱預測了這對映象流形的辛結構和復結構之間的對偶性。兩種不同性質的結構透過映象對稱就聯絡在了一起，這正是映象對稱的神奇之處！
我們假定這兩個互為映象對偶的卡丘3-流形，分別記為X和Y。接下來，映象對稱預言，在X上的A模型弦理論等價於在Y上構造的B模型弦理論。
這就是 Greene和Plesser 在上世紀80年代末的重要發現。當然他們也是基於Dixon, Vafa 等人的工作基礎之上。Greene那時應該是丘成桐在哈佛的博士後。
真正將映象對稱帶入數學領域，在數學界引起波瀾的是1991年Candelas等人的工作。那一年Candelas, Green, Ossa, Parkes發表了他們最出名的文章，他們具體的實現了映象對稱的計算，並將其應用到計數幾何中。 具體來說，他們詳細計算了一個叫Quintic的卡丘3流形上的弦理論的重要物理量。這個Quintic上的A模型的計算，根據映象對稱，就完全可以透過這個Quintic的映象流形（稱為映象Quintic）上的B模型理論來完成。
在數學上，Quintic上的A模型的計算給出了Quintic的有理曲線的計算公式，過去數學家只能一個個的算，而有了映象對稱，在B-模型這邊，只需要解一個所謂的Picard-Fuchs方程（它是映象Quintic的週期積分的限制方程）就能計算出來。而這個解預言能給出Quintic所有degree的有理曲線的計算公式！
這裡還有個小插曲，計算Quintic中的有理曲線數目這個事情本來是數學家要做的事情。這屬於數學中一個叫做計數幾何的古老領域，當度為1和2時候，這樣的有理曲線數目當時數學家已經計算出來了，分別為2875和609250。Candelas斷言說他們的公式可以給出所有的計數。比如度為3時，這個計數是317206375。
有兩位這個領域的數學家Ellingsrud和Stein一開始並不相信他們的結果，因為他們透過複雜的數學技巧，用計算機計算出來不是數。不過後來Ellingsrud和Stein重新檢查程式後，最終認定Candelas等人的計算結果是正確的。
從這以後，數學家們意識到了映象對稱的重要性，開始研究映象對稱，從此成為了數學中一個熱門的研究課題。
接下來的故事，就是首先Kontsevich定義了穩定對映的模空間，引進區域性化的技巧計算A模型理論。然後Candalas等人提出的計算公式，最終由B.Lian-劉克峰-丘成桐以及Givental分別完成證明。
後來，就是SYZ，同調映象對稱登上了研究的舞臺，成為了當前熱門的研究方向，前幾年由於Simons開始資助，這個方向最近幾年特別熱鬧。