隨機矩陣研究的起源要追溯到物理學家對原子核物理的研究。他們發現，不同的重原子核，能階之間的差異似乎都遵循三種不同的分佈。在物理體系中，我們可以說體系的演化由一個叫哈密頓量的東西決定。哈密頓量是一個矩陣（更準確地說，是線性運算元），它指示了物理體系在每一個瞬間應該怎麼演化。哈密頓量的特徵值，對應的就是物理體系的能態。對於重原子核來說，它的哈密頓量需要綜合考慮原子核中的所有質子和中子，影響非常複雜，當時的物理學家還沒有辦法仔細計算。於是，他們根據哈密頓量矩陣的一些對稱性，將其中的引數取成高斯分佈中的隨機數，然後計算相應的能態。正是這樣，他們才發現隨機矩陣的各種性質。

當然，後來發現，隨機矩陣實際上在許多領域都有不同的聯絡，比方說代數幾何、組合數學、弦論等等。在這裡，我們就來談談在組合數學中人們是怎麼研究隨機矩陣的。

可能你會覺得很奇怪，組合數學不就是一些離散的東西拼起來麼，怎麼會跟隨機矩陣這麼“分析”的東西聯絡上的？這件事還是要從矩陣積分談起。

給定一個隨機矩陣，我們可以計算它的一些引數，比如說跡。然後，隨機矩陣也是存在於一個機率空間中的，所以我們可以對它們進行積分。在實際研究中，我們經常考慮隨機厄米矩陣，也就是共軛轉置等於自身的矩陣。在這種矩陣中，在對角線上的項取正態分佈的實數，而非對角線上的項的實部和虛部也各自取正態分佈的實數。這些隨機變數都是獨立的。然後，我們考慮這樣的隨機矩陣H，它的2k次方的跡的平均值，也就是說tr(H^2k)對所有隨機變數積分。

怎麼計算這個積分呢？利用所謂的Wick公式，我們會發現許多在計算中的項都會被消去，而剩下的都是2k個選擇之間的兩兩配對。不同的配對給出的貢獻是不同的，要給出具體的貢獻，就要考慮這些選擇的組合模型。如果將2k個選擇看成2k邊形的邊，那麼配對就可以看成是把邊粘合起來的操作。把所有2k條邊成對粘合起來之後，我們就得到一個曲面，上面有一些線和點，就是原來的邊粘合的痕跡。這樣帶有痕跡的曲面又叫組合地圖。如果矩陣H是一個N階矩陣，那麼某種配對方式的貢獻，大概就等比於N^(-g)，其中g是粘合後曲面的虧格，也就是像甜甜圈那樣的洞的個數。當N趨向於無窮大，顯然貢獻最大的就是那些平面圖。我們於是就得到了一種用組合來計算積分的方法。

當然，如果考慮別的形式的隨機矩陣積分，很多時候也可以得到類似的模型，從而可以透過組合方法來計算積分當N趨向於無窮時的極限值，因為組合地圖的計數是一門研究得比較深的學科。這就是我們用組合來計算隨機矩陣積分的方法。