機率是個複雜的學科，它的複雜之處在於，人人似乎都擁有機率的直覺，而且這些直覺在大部分情況下還不錯，但要是深究起來，其實都是錯的……

比如說，如果可能性的數目有限的話，人們的直覺一般沒什麼大問題。但可能性的數目是無限的話，那就很有問題了。

舉個例子，人們直覺上可能會認為，既然偶數佔自然數的大概一半，那麼如果任意隨機取一個自然數，它是偶數的機率應該就是1/2，難道不對麼？

對，也不對。

問題在於，“任意隨機取一個自然數”這個操作，在數學上實際上完全不成立！

這違反了許多人的直覺：自然數就是一堆東西，我從一堆東西里取出一個東西，這有什麼問題？

問題大了去了。既然是任意隨機選取，那麼選到每一個自然數的機率也應該是一樣的。那麼，選到1的機率是多少呢？如果機率是0的話，顯然沒有可能，因為既然是任意隨機選取，那麼每個自然數總有被選到的機會。現在，假設選到1的機率是p，那麼問題來了，我們知道，所有可能性的機率加起來應該是1，但我們現在有無窮個可能性，無論p多麼小，加起來都會變成無窮！所以，“任意隨機取一個自然數”，這個操作在數學上是不可行的。

但直覺畢竟有它的道理，怎麼才能解釋這一點呢？

在數學上，我們一般採取“漸近”的做法，也就是說，即使不能直接取所有自然數，我們也能選取一個越來越大的範圍，然後計算具體的機率，看看這個機率是否收斂。在自然數的例子中，我們可以先考慮從0到N的自然數，在其中如果任意隨機選取一個的話，它是偶數的機率是[(N+1)/2]/N，這裡的中括號意思是選取整數部分。容易看到，當N趨向於無窮的時候，這個機率會趨向於1/2。在數學上，這種定義又叫漸近密度，我們實際上證明了，偶數在自然數中的漸近密度是1/2。

這是個很小的例子，但也說明了在數學中嚴謹的重要性。在機率論這門學科的歷史中，能明顯地看出嚴謹性是如何塑造現代數學的。在一開始只有有限個可能發生的事件時，計算它們的機率並不是什麼難事，也不會產生疑難問題。但一涉及到有無窮個可能性的情況，比如說幾何概形時，各種奇怪的現象就出現了，比如說著名的貝特朗悖論，隨機選取單位圓上的一條弦，它比圓內接正三角形的邊長要長的機率是多少？根據選取的方法不同，人們可以計算出不同的答案。後來，人們逐漸意識到“選取方法”裡也大有玄機，俄國數學家柯爾莫哥洛夫將這種想法形式化，提出了σ代數和機率測度的概念，真正將機率論建立在了嚴謹的公理體系上。有關機率論更詳細的歷史和論述，可以參考我在科學松鼠會上寫的文章《機率：瞭解不確定性》。

，早晚得關張。

自然數和偶數一樣多，說的是在一個無窮的自然數串中抽出其中的偶數，這些偶數與自然數”一一對應”的結果是誰也不多，誰也不少。至於你說的機率問題，應該理解為抽取兩串數的機率是多少問題，由於這兩串數一樣多，所以抽取自然數和偶數的機率各50%。