一個年輕人想到愛迪生的實驗室裡去工作，愛迪生接見了他。為了博得愛迪生的好感，這位年輕人對愛迪生說：“我想發明一種萬能溶液，它可以溶解一切物品。”愛迪生聽罷，反問道：“那你想用什麼器皿來放置這種萬能溶液呢？它不是可以溶解一切物品嗎？”頓時，年輕人啞口無言。
和諧是一切科學理論所追求的價值目標，也是評價某一科學理論真理性的內在標準。顯然，一個科學的理論是不能允許邏輯矛盾存在的。然而，科學史上發現的許多悖論就屬於這種矛盾。
在數學史上，人們通常把17世紀晚期微積分誕生以來在數學界出現的混亂局面稱為數學的第二次危機。這次危機雖然是由“無窮小”悖論引起的，但它卻直接導源於微積分工具的使用。
在17世紀和整個18世紀，微積分理論的產生及其在各個領域裡的廣泛應用，使得微積分理論得到了飛速的發展。但與此同時，微積分的發明也給傳統的數學方法帶來了一系列的變革，特別是微積分理論引入了一些為傳統數學無法理解的概念和方法，而這些概念本身也帶有一定的含糊性。這些基礎方面的缺陷，最終導致了一場尖銳的、曠日持久的爭論。
微積分從一誕生，就遭到了一些人的攻擊，甚至有人說微積分是荒謬的理論，其中攻擊最猛烈的是英國大主教貝克萊。1734年，貝克萊出版了一本標題極長的書。在這本書中，貝克萊抱怨數學家們的推理晦澀難懂、玄奧莫測，指責一些數學家對自己的每一步既沒有給出邏輯，也沒有說明理由。貝克萊對牛頓的理論提出了批評，指責無窮小方法中包含著悖論。在牛頓的理論中，無窮小量究竟是否為零呢？就無窮小量在當時實際應用而言，它必須既是零，又不是零。但就邏輯而言，這無疑是一個矛盾。對於“逐漸消失了的增量”，貝克萊認為，“它們既不是有限量，也不是無限小，也不是零，難道我們不可以把它們稱為消失了的量的鬼魂嗎？”貝克萊的批評雖然出自維護神學的目的，但卻真正抓住了牛頓理論中的缺陷，是切中要害的。因此，數學史上也把貝克萊關於“無窮小量是否為零”的問題稱之為“貝克萊悖論”。
儘管微積分理論在創立和發展過程中遭受到多方面的指責和攻擊，但是，由於數學家把無窮小量作為實在的量進行運算時，其結果總是正確的，因而微積分理論一但初具規模，就派上了很大用場，並且在實踐中得到了成功的應用。微積分理論的應用和發展增強了數學家研究和發展微積分理論的信心。馬克思曾指出：“大多數人進行微積分，並不是由於他們懂得他們在做什麼，而是出於單純的相信，因為直到現在得出的結果總是正確的”。著名的數學史家M？克萊因在描述這段歷史的情景時曾說：“令人吃驚的是，在理論完全沒有保證的情況下，卻還極端地相信結論。因為18世紀的數學家們在沒有邏輯支援的情況下，願意如此勇敢地衝殺向前，所以這段時期被稱為數學的英雄年代。”
微積分建立後，經過大約一個多世紀數學基礎問題的爭論，到了18世紀末，人們逐漸認識到，不替微積分建立堅實的邏輯基礎而含糊地使用一些基本概念是不嚴格的。儘管這些爭論沒有解決“無窮小”悖論，但卻為19世紀30代起所展開的“分析批判運動”準備了條件。
經過幾代數學家的努力，微積分理論逐步得到了完善和豐富。在柯西、魏爾斯特拉斯、戴德金等人的研究基礎上，微積分理論的一些基本概念，如極限、連續、導數、微分和積分等，得到了重新定義。由於微積分理論的基礎在於極限論，極限理論的基礎在於實數論，這樣一來，微積分就建立在嚴密的實數理論基礎之上。實際上，由於嚴格的微積分理論的建立，由牛頓和萊布尼茨時代提出來的“無窮小”悖論，就被排除了；同時，第二次數學危機也得到了合理的解決。
那麼，“無窮小”悖論給我們什麼啟示呢？筆者以為，數學之美在於和諧。“無窮小”悖論的發現表明：數學理論自身還有不和諧之處。因此，破解悖論、追求和諧，是數學發展的內在動力。實際上，“無窮小”悖論的發現具有重要的方法論價值。這個悖論具有雙重屬性，它既給數學帶來了深刻的危機，也給數學家思維方式的變革和數學理論發展提供了重要契機。
一個年輕人想到愛迪生的實驗室裡去工作，愛迪生接見了他。為了博得愛迪生的好感，這位年輕人對愛迪生說：“我想發明一種萬能溶液，它可以溶解一切物品。”愛迪生聽罷，反問道：“那你想用什麼器皿來放置這種萬能溶液呢？它不是可以溶解一切物品嗎？”頓時，年輕人啞口無言。
和諧是一切科學理論所追求的價值目標，也是評價某一科學理論真理性的內在標準。顯然，一個科學的理論是不能允許邏輯矛盾存在的。然而，科學史上發現的許多悖論就屬於這種矛盾。
在數學史上，人們通常把17世紀晚期微積分誕生以來在數學界出現的混亂局面稱為數學的第二次危機。這次危機雖然是由“無窮小”悖論引起的，但它卻直接導源於微積分工具的使用。
在17世紀和整個18世紀，微積分理論的產生及其在各個領域裡的廣泛應用，使得微積分理論得到了飛速的發展。但與此同時，微積分的發明也給傳統的數學方法帶來了一系列的變革，特別是微積分理論引入了一些為傳統數學無法理解的概念和方法，而這些概念本身也帶有一定的含糊性。這些基礎方面的缺陷，最終導致了一場尖銳的、曠日持久的爭論。
微積分從一誕生，就遭到了一些人的攻擊，甚至有人說微積分是荒謬的理論，其中攻擊最猛烈的是英國大主教貝克萊。1734年，貝克萊出版了一本標題極長的書。在這本書中，貝克萊抱怨數學家們的推理晦澀難懂、玄奧莫測，指責一些數學家對自己的每一步既沒有給出邏輯，也沒有說明理由。貝克萊對牛頓的理論提出了批評，指責無窮小方法中包含著悖論。在牛頓的理論中，無窮小量究竟是否為零呢？就無窮小量在當時實際應用而言，它必須既是零，又不是零。但就邏輯而言，這無疑是一個矛盾。對於“逐漸消失了的增量”，貝克萊認為，“它們既不是有限量，也不是無限小，也不是零，難道我們不可以把它們稱為消失了的量的鬼魂嗎？”貝克萊的批評雖然出自維護神學的目的，但卻真正抓住了牛頓理論中的缺陷，是切中要害的。因此，數學史上也把貝克萊關於“無窮小量是否為零”的問題稱之為“貝克萊悖論”。
儘管微積分理論在創立和發展過程中遭受到多方面的指責和攻擊，但是，由於數學家把無窮小量作為實在的量進行運算時，其結果總是正確的，因而微積分理論一但初具規模，就派上了很大用場，並且在實踐中得到了成功的應用。微積分理論的應用和發展增強了數學家研究和發展微積分理論的信心。馬克思曾指出：“大多數人進行微積分，並不是由於他們懂得他們在做什麼，而是出於單純的相信，因為直到現在得出的結果總是正確的”。著名的數學史家M？克萊因在描述這段歷史的情景時曾說：“令人吃驚的是，在理論完全沒有保證的情況下，卻還極端地相信結論。因為18世紀的數學家們在沒有邏輯支援的情況下，願意如此勇敢地衝殺向前，所以這段時期被稱為數學的英雄年代。”
微積分建立後，經過大約一個多世紀數學基礎問題的爭論，到了18世紀末，人們逐漸認識到，不替微積分建立堅實的邏輯基礎而含糊地使用一些基本概念是不嚴格的。儘管這些爭論沒有解決“無窮小”悖論，但卻為19世紀30代起所展開的“分析批判運動”準備了條件。
經過幾代數學家的努力，微積分理論逐步得到了完善和豐富。在柯西、魏爾斯特拉斯、戴德金等人的研究基礎上，微積分理論的一些基本概念，如極限、連續、導數、微分和積分等，得到了重新定義。由於微積分理論的基礎在於極限論，極限理論的基礎在於實數論，這樣一來，微積分就建立在嚴密的實數理論基礎之上。實際上，由於嚴格的微積分理論的建立，由牛頓和萊布尼茨時代提出來的“無窮小”悖論，就被排除了；同時，第二次數學危機也得到了合理的解決。
那麼，“無窮小”悖論給我們什麼啟示呢？筆者以為，數學之美在於和諧。“無窮小”悖論的發現表明：數學理論自身還有不和諧之處。因此，破解悖論、追求和諧，是數學發展的內在動力。實際上，“無窮小”悖論的發現具有重要的方法論價值。這個悖論具有雙重屬性，它既給數學帶來了深刻的危機，也給數學家思維方式的變革和數學理論發展提供了重要契機。