、裂項相消法
把數列的每一項拆成兩項之差，求和時有些部分可以相互抵消，從而達到求和的目的。
2、常見的裂項公式：
（1）若{an}是等差數列，則
1anan+1=
1d·(1an−1an+1)，
1an·an+2=
12d(1an−1an+2)。
（2）
1n(n+1)=1n−1n+1。
（3）
1n(n+k)=1k(1n−1n+k)。
（4）
1(2n−1)(2n+1)=
12(12n−1−12n+1)。
（5）
1n(n+1)(n+2)=
12[1n(n+1)−1(n+1)(n+2)]。
（6）
1n+n+1=n+1−n。
（7）
1n+n+k=
1k(n+k−n)。
注：抵消後的項數並不一定只剩下第一項和最後一項，也有可能剩下第一項和倒數第二項。透過裂項後，有時候需要調整前面的係數，使裂項前後保持相等。
二、裂項相消法的例題
等差數列{an}的前n項和為Sn，a3=3，S4=10，則
∑nk=11Sk=____
A．
nn+1 B．
2nn+1
C．
3nn+1 D．
4nn+1
答案：B
解析：設等差數列的首項為a1，公差為d，由題意有：
{a1+2d=3,4a1+4×32d=10,
解得 {a1=1,d=1,
數列的前n項和Sn=na1+
n(n−1)2d=n×1+
n(n−1)2×1=
n(n+1)2，
1Sk=
2k(k+1)=
2(1k−1k+1)，所以
∑nk=11Sk=
2[(1−12)+
(12−13)+⋯+
(1n−1n+1)]=
2(1−1n+1)=
2nn+1。
、裂項相消法
把數列的每一項拆成兩項之差，求和時有些部分可以相互抵消，從而達到求和的目的。
2、常見的裂項公式：
（1）若{an}是等差數列，則
1anan+1=
1d·(1an−1an+1)，
1an·an+2=
12d(1an−1an+2)。
（2）
1n(n+1)=1n−1n+1。
（3）
1n(n+k)=1k(1n−1n+k)。
（4）
1(2n−1)(2n+1)=
12(12n−1−12n+1)。
（5）
1n(n+1)(n+2)=
12[1n(n+1)−1(n+1)(n+2)]。
（6）
1n+n+1=n+1−n。
（7）
1n+n+k=
1k(n+k−n)。
注：抵消後的項數並不一定只剩下第一項和最後一項，也有可能剩下第一項和倒數第二項。透過裂項後，有時候需要調整前面的係數，使裂項前後保持相等。
二、裂項相消法的例題
等差數列{an}的前n項和為Sn，a3=3，S4=10，則
∑nk=11Sk=____
A．
nn+1 B．
2nn+1
C．
3nn+1 D．
4nn+1
答案：B
解析：設等差數列的首項為a1，公差為d，由題意有：
{a1+2d=3,4a1+4×32d=10,
解得 {a1=1,d=1,
數列的前n項和Sn=na1+
n(n−1)2d=n×1+
n(n−1)2×1=
n(n+1)2，
1Sk=
2k(k+1)=
2(1k−1k+1)，所以
∑nk=11Sk=
2[(1−12)+
(12−13)+⋯+
(1n−1n+1)]=
2(1−1n+1)=
2nn+1。