自然數的公理化構造及其性質

提到數學中的公理化方法，便不能不提到《幾何原本》.《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里德的關於平面幾何的傑作，是2000年來世界上流傳最廣泛的教科書.《幾何原本》開數學公理化之先河，利用公理化方法，把平面幾何中不成體系的凌亂的結果用嚴密的邏輯編製成一條數學之鏈.

在《幾何原本》的開始，歐幾里德不加定義地引入了點，線，面等等物件.也就是說，歐幾里德並沒有闡明“點是什麼”，“直線是什麼”之類的問題，而是直接給出點，線，面的性質和關係.公理化方法的一個很顯著的特點就是：直接引入一些物件和關係，這些物件和關係不加定義，僅僅是一些虛無的符號.比如說，歐幾里德並沒有定義“直線”是何物，因此每當歐幾里德提到“直線”的時候，它僅僅是提到了一個詞語——直線.我們可以把“直線”這個詞換成“line”,也可以僅僅用符號@代替它.重要的不是直線是什麼，而是直線有什麼性質.公理化方法常常引入一些新的物件和關係，這些新的物件和關係不加定義，但是擁有某些性質.公理化方法認為，是什麼並不重要，有什麼性質才重要.就像你是一個人，重要的並不是你是誰，而是你說什麼話，做什麼事，假如有一天，上帝悄悄把你身體內部掏空了，而繼續讓你的軀體像平常一樣行事，那麼別人將看不出你的任何異常.

自然數的皮亞諾公理:我們假設存在一個模型滿足以下公理,這也就假定了這幾條公理是相容的,對於其相容性的假設將是我們所做的唯一的假設.

公理一:0 是自然數.

公理二:任何自然數的後繼存在並是自然數並唯一(用m++表示).

公理三:0不是任何自然數的後繼.

公理四:若兩自然數不等,則各自的後繼不等(等價敘述是:若兩自然數後繼相等,則兩自然數相等).

公理五:數學歸納法原理:p(n)是關於自然數n的一個性質.若p(0)成立.且若p(n)成立可以匯出p(n++)成立,則對於一切自然數m,p(m)成立.