黎曼函式是一個特殊函式，由德國數學家黎曼發現提出，在高等數學中被廣泛應用，在很多情況下可以作為反例來驗證某些函式方面的待證命題。 此函式在微積分中有著重要應用。
編輯本段定義
R(x)=0，如果x=0，1或(0,1)內的無理數； R(x)=1/q，如果x=p/q（p/q為既約真分數），即x為(0,1)內的有理數。
編輯本段性質
定理：黎曼函式在區間(0,1)內的極限處處為0。 證明：對任意x0∈(0,1)，任給正數ε，考慮除x0以外所有黎曼函式的函式值大於等於ε的點，因為黎曼函式的正數值都是1/q的形式（q∈N+），且對每個q，函式值等於1/q的點都是有限的，所以除x0以外所有函式值大於等於ε的點也是有限的。設這些點，連同0、1，與x0的最小距離為δ，則x0的半徑為δ的去心鄰域中所有點函式值均在[0,ε)中，從而黎曼函式在x->x0時的極限為0。 推論：黎曼函式在(0,1)內的無理點處處連續，有理點處處不連續。 推論：黎曼函式在區間[0,1]上是黎曼可積的。（實際上，黎曼函式在[0,1]上的積分為0。） 證明：函式可積性的勒貝格判據指出，一個有界函式是黎曼可積的，當且僅當它的所有不連續點組成的集合測度為0。黎曼函式的不連續點集合即為有理數集，是可數的，故其測度為0，所以由勒貝格判據，它是黎曼可積的。
編輯本段影象
函式影象
根據定義可知，黎曼函式的函式圖象應該是一系列鬆散的點，而非連續曲線，這是因為它一方面處處極限為0，另一方面在任意的小區間中，都包含著無數個值不為0的點。通常來說，黎曼函式的影象是由它在函式值最大的有限個有理點的值組成的散點圖來逼近的。 從黎曼函式的影象中可以看出，函式值比較大的點是很稀疏的，隨著函式值的減小，點在橫向和縱向上都變得越來越密集。 根據影象的特點，黎曼函式有時也被稱為爆米花函式、雨滴函式。
編輯本段變體
R(x)=0，如果x為任意無理數； R(x)=1/q，如果x=p/q（p∈Z，q∈Z+，(p,q)=1），即x為任意有理數。 這樣定義的黎曼函式R上的所有無理點處處連續，有理點處處不連續。
黎曼函式是一個特殊函式，由德國數學家黎曼發現提出，在高等數學中被廣泛應用，在很多情況下可以作為反例來驗證某些函式方面的待證命題。 此函式在微積分中有著重要應用。
編輯本段定義
R(x)=0，如果x=0，1或(0,1)內的無理數； R(x)=1/q，如果x=p/q（p/q為既約真分數），即x為(0,1)內的有理數。
編輯本段性質
定理：黎曼函式在區間(0,1)內的極限處處為0。 證明：對任意x0∈(0,1)，任給正數ε，考慮除x0以外所有黎曼函式的函式值大於等於ε的點，因為黎曼函式的正數值都是1/q的形式（q∈N+），且對每個q，函式值等於1/q的點都是有限的，所以除x0以外所有函式值大於等於ε的點也是有限的。設這些點，連同0、1，與x0的最小距離為δ，則x0的半徑為δ的去心鄰域中所有點函式值均在[0,ε)中，從而黎曼函式在x->x0時的極限為0。 推論：黎曼函式在(0,1)內的無理點處處連續，有理點處處不連續。 推論：黎曼函式在區間[0,1]上是黎曼可積的。（實際上，黎曼函式在[0,1]上的積分為0。） 證明：函式可積性的勒貝格判據指出，一個有界函式是黎曼可積的，當且僅當它的所有不連續點組成的集合測度為0。黎曼函式的不連續點集合即為有理數集，是可數的，故其測度為0，所以由勒貝格判據，它是黎曼可積的。
編輯本段影象
函式影象
根據定義可知，黎曼函式的函式圖象應該是一系列鬆散的點，而非連續曲線，這是因為它一方面處處極限為0，另一方面在任意的小區間中，都包含著無數個值不為0的點。通常來說，黎曼函式的影象是由它在函式值最大的有限個有理點的值組成的散點圖來逼近的。 從黎曼函式的影象中可以看出，函式值比較大的點是很稀疏的，隨著函式值的減小，點在橫向和縱向上都變得越來越密集。 根據影象的特點，黎曼函式有時也被稱為爆米花函式、雨滴函式。
編輯本段變體
R(x)=0，如果x為任意無理數； R(x)=1/q，如果x=p/q（p∈Z，q∈Z+，(p,q)=1），即x為任意有理數。 這樣定義的黎曼函式R上的所有無理點處處連續，有理點處處不連續。