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  • 1 # 使用者8247884274131

    題主的魔方因曾經拆散後重裝,造成了無解的狀態。

    可以拆掉一個角塊,將方向旋轉至“小魚1、小魚2”可解決的狀態。或者乾脆拆掉整個第三層,直接拼裝為還原狀態。

    接下來,簡單給題主說明下,為何“拆散重灌後的魔方會造成無解”。

    經拆散後重裝的魔方,有11/12的機率無法透過旋轉還原

    魔方有三類變化是無法透過旋轉實現的:

    無法單獨翻轉一個角塊的方向。無法單獨翻轉一個稜塊的方向。無法單獨交換一對稜塊的位置。

    拆散再重灌,即有可能出現需要進行上述三種操作才能還原魔方,這個機率是11/12。

    為什麼那三類變化無法透過旋轉魔方實現?

    我們首先引入一個概念——最小操作,可以理解為完成一個事件的最小的、不可拆分的操作。

    比如,一家餐廳,米飯2元、饅頭1元、粥3元。在這家餐廳消費,因其定價特點,無論何種點餐組合,支出的費用都只可能是整數元。所以,“支出1元”便是在這家餐廳消費的“最小操作”。

    魔方的“最小操作”是將魔方的一層旋轉90°。

    魔方的角塊有3個色片,即有3種方向。我們把魔方還原狀態下的角塊方向,記為3n;角塊順時針翻轉後,記為3n+1;逆時針翻轉後,記為3n-1。

    魔方進行一次最小操作後,有兩個角塊方向翻轉為3n+1,另兩個翻轉為3n-1,即四個角塊的方向加和為3n×4。

    那麼,任意次旋轉魔方,所涉及角塊方向加和為3n的整數倍。所以,不可能將一個角塊翻轉為3n+1或3n-1,而其他角塊方向不變,即無法單獨翻轉一個角塊。

    接下來,我們再來引入一個概念——置換。假設有3個元素A、B、C,將A移動到B、B移動到C、C移動到A,我們將這個過程記為置換 (A, B, C) 。顯然,(A, B, C) 可以拆分為 (B, C) + (A, B) ;(A, B, C, D) = (A, B) + (A, C) + (A, D) 。

    如此,我們將可以拆分為偶數個子置換者稱為偶置換,無置換亦為偶置換;可以拆分為奇數個子置換者稱為奇置換,不可拆分的置換亦為奇置換。

    不難理解,奇置換 + 奇置換 = 偶置換;偶置換 + 偶置換 = 偶置換;奇置換 + 偶置換 = 奇置換。

    魔方的稜塊有2個色片,即有2種方向。基於置換概念,單獨翻轉一個稜塊為奇置換。翻轉稜塊方向,需要進行兩次最小操作,即某個面旋轉180°。該面上的四個稜塊方向同時翻轉,此為四個奇置換,奇置換 × 4 = 偶置換。魔方還原狀態 = 偶置換。

    因偶置換 + 偶置換 ≠ 奇置換,即魔方還原狀態下(偶置換),不可能透過一系列翻轉稜塊操作(偶置換 + 偶置換),從而達到單獨翻轉一個稜塊的效果(偶置換 + 偶置換 ≠ 奇置換),所以無法單獨翻轉一個稜塊。

    基於置換概念,魔方進行一次最小操作,某面旋轉90°,四個角塊、四個稜塊同時向旋轉方向迴圈移動一位,角塊、稜塊位移分別為奇置換,故一次最小操作 = 奇置換 × 2 = 偶置換。單獨交換一對稜塊 = 奇置換。魔方還原狀態 = 偶置換。

    因偶置換 + 偶置換 ≠ 奇置換,即魔方還原狀態下(偶置換),不可能透過一系列最小操作(偶置換 + 偶置換),從而達到單獨交換一對稜塊的效果(偶置換 + 偶置換 ≠ 奇置換),即無法單獨交換一對稜塊。

    綜上,以“最小操作”概念證明無法單獨翻轉一個角塊,以“置換”概念證明無法單獨翻轉、交換一個稜塊。

    更為詳細的講述,題主可以閱讀以下文章:

    92%的魔方在拆散後無法還原!(2018/10/29)_碧海風雲

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