把平面上光滑凸圖形的面積理解為圖形外切折線構成的封閉多邊形面積的極限，周長則理解為多邊形周長的極限。再考慮平面上一點D，把折線的所有端點和D連起來，得到若干個三角形，這樣圖形面積就可以用這些三角形面積之和來逼近。向圖形外延長D和各端點所連的線，使延長後的線長度為原來的(1+c)倍，再依次連線延長後各線的端點，得到若干三角形。這些三角形就可以用來逼近與原來圖形位似，位似中心為D的凸圖形的面積。

現在考慮原凸多邊形的面積，取凸多邊形內一點D，連線D與各頂點，得到若干三角形。則多邊形面積 ，h和l是分別是各三角形以D為頂點的高和底，位似多邊形的面積為 。因為現在我們只考慮某一種凸多邊形，所以這個圖形可以完全由多邊形某條邊上的高來決定，記這條高為 ，凸多邊形面積可以寫成 ，面積隨這條高變化的導數就是： 。如果所有的高 都相等的話，等式右邊就是 求和，就是多邊形的周長了。對於正多邊形，如果選多邊形中心到各邊距離為引數，把面積和周長分別表達出來，那麼周長恰好就是面積導數。比如正方形此時面積4x^2，周長8x，後者為前者導數。

圓的特殊之處就在於其可以在逼近過程中一直用正多邊形來逼近，上述等式前的所有和號前面再添一個極限號，仍然成立。

球的情況類似，但是要注意球不能用正多面體來逼近，保證用來逼近的多面體存在一中心到各面距離相等即可。但是還沒見過有什麼書用外切多面體體積的極限來定義物體體積的。。所以可能有不嚴謹的地方。