我簡單說下證明，要掌握這幾個定理，是在明確下面四個定理的基礎上的，即，如果f(x)在閉區間連續，那麼1必有界 2必有最大值M和最小值m 3介值定理，當一個數u ，m<u<M，存在a f(a)=u 4零點定理，即如果f(a)>o f(b)<o ab間一定存在一個數c,f(c)=o，這些定理很好理解，隨便畫個圖就能清清楚楚，在數學上基本等於常識。費馬定理，閉區間連續，開區間可導，那麼極值點的導數為零，注意這個導數為零不能反推是極值。費馬定理是用定義算極值點的左右極限，假設極大值，那麼左右極限的分子都小於等於零，左極限分母小於零，右極限分母大於零，所以總的左右極限一個大於等於零一個小於等於零，由於極限的存在，那麼左右極限必相等，所有極限等於零羅爾定理，閉區間連續，開區間可導，端點函式值相等，則開區間至少有一點，這一點的導數為零。這裡首先用定理2，則有最大值和最小值Mm，首先如果它倆相等，那麼這個函式就是一個常函式，處處極限為零。如果它倆不想等，至少就一個不是端點的函式值，你隨便假設一個不是，那麼這個函式至少就有一個極值，所以至少有一點導函式為零，就用到了費馬定理。拉格朗日中值定理，就是在羅爾的基礎上去掉了端點函式值相等的情況，這時候你需要構造輔助函式函式讓它達到羅爾的效果。圖就是這麼個圖了，區間ab，端點叫做AB的話，那麼先弄出AB直線的表示式，就是L(AB)=[(f(b)-f(a))/(b-a)](x-a)+f(a)到這裡就明顯了，f(x)減去L(AB)這個輔助函式的端點值就是相等的了，再用羅爾定理，求導即可。柯西中值定理就是在拉格朗日上的進一步拓展，在證明上就是將xy分別定義為引數方程x=f(x),y=F(x),然後建構函式等等方法與拉格朗日一樣，需要注意的就是你不能用兩個拉格朗日得出，因為兩個拉格朗日就存在了兩個中間值了
我簡單說下證明，要掌握這幾個定理，是在明確下面四個定理的基礎上的，即，如果f(x)在閉區間連續，那麼1必有界 2必有最大值M和最小值m 3介值定理，當一個數u ，m<u<M，存在a f(a)=u 4零點定理，即如果f(a)>o f(b)<o ab間一定存在一個數c,f(c)=o，這些定理很好理解，隨便畫個圖就能清清楚楚，在數學上基本等於常識。費馬定理，閉區間連續，開區間可導，那麼極值點的導數為零，注意這個導數為零不能反推是極值。費馬定理是用定義算極值點的左右極限，假設極大值，那麼左右極限的分子都小於等於零，左極限分母小於零，右極限分母大於零，所以總的左右極限一個大於等於零一個小於等於零，由於極限的存在，那麼左右極限必相等，所有極限等於零羅爾定理，閉區間連續，開區間可導，端點函式值相等，則開區間至少有一點，這一點的導數為零。這裡首先用定理2，則有最大值和最小值Mm，首先如果它倆相等，那麼這個函式就是一個常函式，處處極限為零。如果它倆不想等，至少就一個不是端點的函式值，你隨便假設一個不是，那麼這個函式至少就有一個極值，所以至少有一點導函式為零，就用到了費馬定理。拉格朗日中值定理，就是在羅爾的基礎上去掉了端點函式值相等的情況，這時候你需要構造輔助函式函式讓它達到羅爾的效果。圖就是這麼個圖了，區間ab，端點叫做AB的話，那麼先弄出AB直線的表示式，就是L(AB)=[(f(b)-f(a))/(b-a)](x-a)+f(a)到這裡就明顯了，f(x)減去L(AB)這個輔助函式的端點值就是相等的了，再用羅爾定理，求導即可。柯西中值定理就是在拉格朗日上的進一步拓展，在證明上就是將xy分別定義為引數方程x=f(x),y=F(x),然後建構函式等等方法與拉格朗日一樣，需要注意的就是你不能用兩個拉格朗日得出，因為兩個拉格朗日就存在了兩個中間值了