這是平直的歐氏空間上的性質，如果不是歐氏幾何，比如說球面上，一般就不成立，比如緯線圈長度和到北極距離（注意球面上只能用球面距離）就不成比例。

歐氏空間主要有以下性質：

1. 它是一個線性空間，而且原點可以任意選擇（也叫做仿射空間），也就是說任意圖形都可以平移、旋轉、縮放而仍然在空間內

2. 它是一個內積空間，長度定義為內積的平方根，而內積有雙線性性質，意味著旋轉時長度不變，縮放時長度按比例增加（整體平移時向量本身是不變的）；內積也定義了角度，因而平移、旋轉、縮放時角度不變。

這些性質在歐氏幾何中作為公理和公設出現，線上性代數中則認為是代數結構的性質。

有這些基礎之後可以定義更廣泛的相似性：

對於點集A，如果存在仿射變化f，將A中每個點經過f變化，得到的新點集恰好為A"，則稱A"與A相似。根據前面的性質，相似的兩個圖形，直線仍然對應直線，角度不變，距離則成固定比例。

由於仿射變化是可以複合的，因此透過多個平移、旋轉、縮放之後重合也是一樣的。

接下來證明任意兩個圓都是相似的，我們可以將圓和圓心一起做變化，只需要仿照其它答主的方法：首先將圓心平移到重合的位置，然後以圓心為原點按半徑比例縮放，則圓周上點到圓心的距離仍然相等，得到了一個新的圓，很容易證明兩個圓現在完全重合。

既然任意兩個圓都相似，那麼最後一個問題是考慮周長的問題了，首先需要定義周長，我們一般定義曲線長度為內接折線長度的上確界，對於圓來說，就是內接簡單多邊形的周長的上確界了；那麼不難發現，設相似變換為f，則第一個圓上的任意內接簡單多邊形，經過f變換，都得到第二個圓上的一個對應的、相似的內接簡單多邊形，因而多邊形周長成固定比例；因為f可逆，因此反過來也有同樣的對應關係。因為每個元素都相應成比例，那麼運用與常數乘積的極限性質，整體的上確界也相應成比例了，因而圓的周長的比例也是相似比。很容易發現這一點可以推廣到任意曲線上。

既然周長和半徑（直徑）都相應成比例，那麼周長和直徑的比值自然就是固定值了。