S△F1PF2=b2/tan(θ/2)。
設邊長PF1=m,PF2=n,則由余弦定理得:cosθ=(m^2+n^2-(2c)^2)/(2mn)=[(m-n)^2+2mn-4c^2]/(2mn)=1+[(m-n)^2-4c^2]/(2mn)。
又雙曲線的定義|m-n|=2a,故(m-n)^2=4a^2,
cosθ=1+[(m-n)^2-4c^2]/(2mn)=1+[4a^2-4c^2]/(2mn)=1-4b^2/(2mn)即mn=2b^2/(1-cosθ)。
又三角形的面積公式:S=1/2*mnsinθ=b^2*sinθ/(1-cosθ)
下邊要用到一個萬能公式即tan(θ/2)=sinθ/(1+cosθ)=(1-cosθ)/sinθ,故S=b2/tan(θ/2)。
擴充套件資料
雙曲線的特徵:
1、分支
可以從影象中看出,雙曲線有兩個分支。當焦點在x軸上時,為左軸與右軸;當焦點在y軸上時,為上軸與下軸。
2、焦點
在定義1中提到的兩個定點稱為該雙曲線的焦點,定義2中提到的一給定點也是雙曲線的焦點。雙曲線有兩個焦點。焦點的橫(縱)座標滿足c?a?b病?
3、頂點
雙曲線和它的對稱軸有兩個交點,它們叫做雙曲線的頂點。
4、實軸
兩頂點之間的距離稱為雙曲線的實軸,實軸長的一半稱為實半軸。
5、虛軸
S△F1PF2=b2/tan(θ/2)。
設邊長PF1=m,PF2=n,則由余弦定理得:cosθ=(m^2+n^2-(2c)^2)/(2mn)=[(m-n)^2+2mn-4c^2]/(2mn)=1+[(m-n)^2-4c^2]/(2mn)。
又雙曲線的定義|m-n|=2a,故(m-n)^2=4a^2,
cosθ=1+[(m-n)^2-4c^2]/(2mn)=1+[4a^2-4c^2]/(2mn)=1-4b^2/(2mn)即mn=2b^2/(1-cosθ)。
又三角形的面積公式:S=1/2*mnsinθ=b^2*sinθ/(1-cosθ)
下邊要用到一個萬能公式即tan(θ/2)=sinθ/(1+cosθ)=(1-cosθ)/sinθ,故S=b2/tan(θ/2)。
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雙曲線的特徵:
1、分支
可以從影象中看出,雙曲線有兩個分支。當焦點在x軸上時,為左軸與右軸;當焦點在y軸上時,為上軸與下軸。
2、焦點
在定義1中提到的兩個定點稱為該雙曲線的焦點,定義2中提到的一給定點也是雙曲線的焦點。雙曲線有兩個焦點。焦點的橫(縱)座標滿足c?a?b病?
3、頂點
雙曲線和它的對稱軸有兩個交點,它們叫做雙曲線的頂點。
4、實軸
兩頂點之間的距離稱為雙曲線的實軸,實軸長的一半稱為實半軸。
5、虛軸