【直角三角形斜邊中線等於斜邊的一半逆命題成立】

【如果三角形的一邊中線等於該邊長的一半，那麼三角形為直角三角形。】

設在△ABC中，AD為BC邊的中線，且AD=1/2BC，求證：△ABC為直角三角形。

【證法1】

∵AD是BC邊的中線，

∴BD=CD=1/2BC，

∵AD=1/2BC，

∴BD=AD=CD，

∴∠1=∠B，∠2=∠C，

∴∠1+∠2=∠B+∠C，

即∠BAC=∠B+∠C，

∵2∠BAC=∠BAC+∠B+∠C=180°（三角形內角和180°），

∴∠BAC=90°，

∴△ABC是直角三角形。

【證法2】

取AC的中點E，連線DE。

∵AD是BC邊的中線，

∴BD=CD=1/2BC，

∵AD=1/2BC，

∴AD=CD，

∵點E是AC的中點，

∴DE⊥AC（三線合一），

∴∠DEC=90°，

∵點D是BC的中點，點E是AC的中點，

∴DE是△ABC的中位線，

∴DE//AB，

∴∠BAC=∠DEC=90°，

∴△ABC是直角三角形。

【證法3】

延長AD到E，是DE=AD，連線BE、CE。

∵AD是BC邊的中線，

∴BD=CD，

又∵AD=DE，

∴四邊形ABEC是平行四邊形（對角線相等的四邊形是平行四邊形），

∵AD=1/2BC，AD=DE=1/2AE，

∴BC=AE，

∴四邊形ABEC是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形），

∴∠BAC=90°（矩形的內角均為直角），

∴△ABC是直角三角形。