“勾三股四弦五”是勾股定理的一個特別的例子，由西周初年的商高提出。但只是適應於直角三角形，（3角度數為36.8698976 °，53.1301024°，90°。）中國古代稱短的直角邊為勾，長的直角邊為股，斜邊為弦。據中國西漢時期算書《周髀算經》記載，約公元前1100年，人們已經知道如果勾是三，股是四，那麼弦就是五。在西方，也有“勾三股四弦五”的定理，《周髀算經》比西方早了五百多年，這一定理在西方稱為“畢達哥拉斯定理”。勾三股四弦五直角三角形的內切圓直徑為2。故有 “勾三股四弦五徑二”之說。擴充套件資料：如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS）三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。任意一個矩形的面積等於其二邊長的乘積（據輔助定理3）。證明的思路為：從A點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二，把上方的兩個正方形，透過等高同底的三角形，以其面積關係，轉換成下方兩個同等面積的長方形。設△ABC為一直角三角形，其直角為∠CAB。其邊為BC、AB和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。畫出過點A之BD、CE的平行線，分別垂直BC和DE於K、L。分別連線CF、AD，形成△BCF、△BDA。∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共線，同理可證B、A和H共線。∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。因為AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。因為A與K和L在同一直線上，所以四邊形BDLK=2△ABD。因為C、A和G在同一直線上，所以正方形BAGF=2△FBC。因此四邊形BDLK=BAGF=AB²。同理可證，四邊形CKLE=ACIH=AC²。把這兩個結果相加，AB²+AC²=BD×BK+KL×KC由於BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC由於CBDE是個正方形，因此AB²+AC²=BC²，即a²+b²=c²。此證明是於歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出的。
“勾三股四弦五”是勾股定理的一個特別的例子，由西周初年的商高提出。但只是適應於直角三角形，（3角度數為36.8698976 °，53.1301024°，90°。）中國古代稱短的直角邊為勾，長的直角邊為股，斜邊為弦。據中國西漢時期算書《周髀算經》記載，約公元前1100年，人們已經知道如果勾是三，股是四，那麼弦就是五。在西方，也有“勾三股四弦五”的定理，《周髀算經》比西方早了五百多年，這一定理在西方稱為“畢達哥拉斯定理”。勾三股四弦五直角三角形的內切圓直徑為2。故有 “勾三股四弦五徑二”之說。擴充套件資料：如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS）三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。任意一個矩形的面積等於其二邊長的乘積（據輔助定理3）。證明的思路為：從A點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二，把上方的兩個正方形，透過等高同底的三角形，以其面積關係，轉換成下方兩個同等面積的長方形。設△ABC為一直角三角形，其直角為∠CAB。其邊為BC、AB和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。畫出過點A之BD、CE的平行線，分別垂直BC和DE於K、L。分別連線CF、AD，形成△BCF、△BDA。∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共線，同理可證B、A和H共線。∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。因為AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。因為A與K和L在同一直線上，所以四邊形BDLK=2△ABD。因為C、A和G在同一直線上，所以正方形BAGF=2△FBC。因此四邊形BDLK=BAGF=AB²。同理可證，四邊形CKLE=ACIH=AC²。把這兩個結果相加，AB²+AC²=BD×BK+KL×KC由於BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC由於CBDE是個正方形，因此AB²+AC²=BC²，即a²+b²=c²。此證明是於歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出的。