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    方法1:

    三角形ABC中,AC、AB上的高為BE和CF。

    顯然三角形ABE相似於三角形ACF,故有AB/AC=AE/AF,即AF*AB=AE*AC (1)

    過A作三角形ABC的高AD,分別交BE,CF,AB於O1,O2,D。

    由三角形AFO2相似於三角形ADB得:AF/AO2=AD/AB,即AF*AB=AO2*AD (2)

    由三角形AEO1相似於三角形ADC得:AE/AO1=AD/AC,即AE*AC=AO1*AD (3)

    根據等式(1)(2)(3)有

    AO1*AD=AO2*AD,

    所以AO1=AO2,O1、O2重合,記重合點為O點,則O點均在高AD,BE,CF上,所以三角形ABC得三條高交於一點O。

    方法2:

    三角形ABC中,AC、AB上的高BE和CF交於O點,連線並延長AO交BC於D,只需證AD為高即可。

    因為角BEC,角CFB均為直角,所以B、C、F、E四點共圓,記為圓BCFE,

    由切割線定理知:AF*AB = AE*AC (4)

    分別記直角三角形BOF,COE的外接圓為圓BOF,圓COE,

    下面只需證明角BDA=90度即可,

    反證:若角BDA小於90度,則角CDA大於90度,因BO,CO分別為圓BOF,圓COE的直徑,所以點D在圓BOF外,在圓COE內,由切割線定理推論

    AO*AD>AF*AB (點D在圓BOF外)

    AO*AD

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