這個等式(a₁b₁+a₂b₂+…+aₙbₙ)= |a||b|cosθ會造成困惑(它們咋就相等了呢)的主要原因是右邊是我們都熟悉的數字乘法，而左邊則是座標的乘積和。|a|,|b|是數字(向量a,b的模)，而(a₁,a₂,…,aₙ)則是a的各個維度上的分量(對b同理)，或曰各個基上的係數(座標)。這個困惑就在於要直接用兩個向量(陣列)的分量之間的運算(乘法+加法)來等同於兩個向量模和它們的夾角的餘弦的乘法運算結果，我們很不習慣這個座標值運算，直觀上的確看不出它們的相等關係，教材裡對於它們之間的相等關係也解說的不清。
其實，這種用兩個數字(本案中是向量的模)分量的乘積+和的組合運算來獲得兩個數字的乘積的做法我們很早就遇到過，熟悉的不能再熟悉了，這就是勾股定律，c²=a²+b²。你把三角形的斜邊c當成一個向量，這個三角形的兩個直邊a,b就是c的兩個分量(單位正交基上的座標值)。c²就是兩個相同向量的內積，所以c·c=aa+bb=|c||c|cosθ，因為θ=0(c與c同向)，故有aa+bb=|c||c|，勾股定理完美變身為向量的座標值乘積和與模乘積之間的相等關係。
對於不是c·c的情況，也就是對兩個相似三角形，它們斜邊的乘積與它們的直角邊的乘積和還相等麼？從向量的角度看，就是兩個同向的向量，它們模的積與它們分量的乘積和相等麼？
我們知道，對於一個與c同向的c"(a",b")，c"可以被c線性表達出來，有c"=λc。那麼，從勾股定理的c·c=aa+bb裡我們是否能推匯出c·c"=aa"+bb"呢(兩個c不一般長了)？當然可以咯(點積公式也擺在那了麼)，可這道理在哪裡呢？
簡單啊！因為c"=λc，c與c"是兩個相似三角形的斜邊，當然就有a"=λa, b"=λb了，那麼，c·c"=λc², aa"+bb"=λa²+λb²，由λc²=λa²+λb² 就妥妥的得到c·c"=aa"+bb"=|c|²，兩個同向向量的內積就等於它們的模相乘，就等於它們分量的乘積和，勾股定理表達對斜邊長度與直角邊長度之間的"勾股"對應關係擴充套件到兩個大小不同但相似的三角形上了。對於向量的內積，在同向向量上，它們的模之間的乘積運算與它們分量的乘積和運算的結果相等應該是毫無疑問的了。
最後我們來看看，如果兩個直角三角形不相似(從向量角度看就是兩個向量方向不同，長度不同)，那麼，兩個斜邊的乘積與兩對直角邊的乘積和之間還有這種"擴充套件的勾股定律"關係麼？也就是兩個不同的向量(長度不同，方向亦不同)的內積(向量分量的乘積和)與這兩個向量的模的乘積之間有對應關係麼？當然對應的啦！可道理在哪裡呢？
這個等式(a₁b₁+a₂b₂+…+aₙbₙ)= |a||b|cosθ會造成困惑(它們咋就相等了呢)的主要原因是右邊是我們都熟悉的數字乘法，而左邊則是座標的乘積和。|a|,|b|是數字(向量a,b的模)，而(a₁,a₂,…,aₙ)則是a的各個維度上的分量(對b同理)，或曰各個基上的係數(座標)。這個困惑就在於要直接用兩個向量(陣列)的分量之間的運算(乘法+加法)來等同於兩個向量模和它們的夾角的餘弦的乘法運算結果，我們很不習慣這個座標值運算，直觀上的確看不出它們的相等關係，教材裡對於它們之間的相等關係也解說的不清。
其實，這種用兩個數字(本案中是向量的模)分量的乘積+和的組合運算來獲得兩個數字的乘積的做法我們很早就遇到過，熟悉的不能再熟悉了，這就是勾股定律，c²=a²+b²。你把三角形的斜邊c當成一個向量，這個三角形的兩個直邊a,b就是c的兩個分量(單位正交基上的座標值)。c²就是兩個相同向量的內積，所以c·c=aa+bb=|c||c|cosθ，因為θ=0(c與c同向)，故有aa+bb=|c||c|，勾股定理完美變身為向量的座標值乘積和與模乘積之間的相等關係。
對於不是c·c的情況，也就是對兩個相似三角形，它們斜邊的乘積與它們的直角邊的乘積和還相等麼？從向量的角度看，就是兩個同向的向量，它們模的積與它們分量的乘積和相等麼？
我們知道，對於一個與c同向的c"(a",b")，c"可以被c線性表達出來，有c"=λc。那麼，從勾股定理的c·c=aa+bb裡我們是否能推匯出c·c"=aa"+bb"呢(兩個c不一般長了)？當然可以咯(點積公式也擺在那了麼)，可這道理在哪裡呢？
簡單啊！因為c"=λc，c與c"是兩個相似三角形的斜邊，當然就有a"=λa, b"=λb了，那麼，c·c"=λc², aa"+bb"=λa²+λb²，由λc²=λa²+λb² 就妥妥的得到c·c"=aa"+bb"=|c|²，兩個同向向量的內積就等於它們的模相乘，就等於它們分量的乘積和，勾股定理表達對斜邊長度與直角邊長度之間的"勾股"對應關係擴充套件到兩個大小不同但相似的三角形上了。對於向量的內積，在同向向量上，它們的模之間的乘積運算與它們分量的乘積和運算的結果相等應該是毫無疑問的了。
最後我們來看看，如果兩個直角三角形不相似(從向量角度看就是兩個向量方向不同，長度不同)，那麼，兩個斜邊的乘積與兩對直角邊的乘積和之間還有這種"擴充套件的勾股定律"關係麼？也就是兩個不同的向量(長度不同，方向亦不同)的內積(向量分量的乘積和)與這兩個向量的模的乘積之間有對應關係麼？當然對應的啦！可道理在哪裡呢？