因為實數R是一個域(field), 數域需要有兩種運算(就是一般所說的加法和乘法)，數域對這兩種運算封閉，也就是實數加（乘）一個實數依然是實數，並且這兩種運算滿足結合律交換律分配率，（重點來了）並且對

1. 乘法存在么元e, 就是任何實數a乘上么元都等於它本身，即a*e=a.

2. 加法存在零元o, 任何實數加上零元等於它本身，即 a+o=a.

你剛好選了這兩個特殊元素而已， 兩種都得成立。

就是因為這兩個元素，加法的逆運算是減法，定義b是a的逆（負），如果a*b=e (a+b=0 ), 數域對逆和負封閉， 即a在數域裡，你的逆和負也必須在這個數域裡。所以為什麼實數是域而整數是環（ring）。

如果你只有一個，比如一個集合，只有加法，對加法封閉，有零元，並且加法滿足結合律，任何元素存在負元。那麼這是一個群。

再多一個運算，有了乘法，並且加法滿足交換律(矩陣乘法就不滿足交換律)，乘法加法滿足分配率，並且有么元，那麼這就是一個環。

這裡的乘法，加法只是對運算的稱呼，並不是真的只能是通常意義的乘法和加法。比如nxn的行列式不為零矩陣對乘法是個群，意思是矩陣乘法滿足群對加法的所有要求。

乘法是加法的簡便運算並不是都為真的，乘法就是乘法，沒有什麼本質。要不然為什麼有群，環的區別？大家所說的乘法是加法的簡便運算僅僅指scale multiplication (乘一個數)，不然考慮矩陣乘法和矩陣加法，不是一回事。

數學所有的定義都是有深刻背景的，並且最重要的一點是：廣泛性。

實數域成立了，複數域依舊成立。乘法和加法並不僅僅是針對數字，還有其他數學空間(矩陣，函式等等)。用例項理解0*1=0當然可以，但是既然問了這個問題，應該是問一個更深層次的理解。

數學沒有那麼小。

補充一下：

為什麼有會看起來沒有必要的群（group），環，域的概念？

域的概念有個很好玩的例子：證明不能用尺規作圖（直尺圓規，無刻度）三等分一個角。

大致思路非常簡單：直尺圓規能在圖上新增新的有理數（有理數域Q），但三等分根據三角函式，需要找一個無理數點，所以不可能做到。就是用了域對運算的封閉性。