正如矩陣可以從（有限維向量空間的）線性變換理解，理解矩陣轉置也可以從線性變換的對偶來理解。為此，我們先回顧一下一些基本的概念：
我們考慮任意域 上的任意兩個有限維向量空間 ，我們把從 到 的所有線性變換構成的集合記為 。由標準的線性代數，我們知道這個集合上有自然的 向量空間的結構，且維數為 。特別地，當 ，我們把 記為 ， 的對偶空間，同時 與 維數相等。 的元素都是從 到 的線形對映（有時候叫做線性泛函）。
取對偶空間有著更深層次的結構：假設 是一個線形對映。那麼，這對應了唯一一個從 到 的線形對映 。它的作用如下：對於任意 ， . 換言之，它透過左結合把 上的線形泛函“拉回”到 上：
（提示：我們這裡用星號表示取對偶，因此 不是 的伴隨對映；當然，我們這裡根本沒有內積結構。後面我們會提到兩者之間的關係。）
下面兩個結論也成立（證明是標準線代習題）：
對於任意 向量空間 的恆等對映 ，我們有
對於任意 向量空間 間的對映 ， ，我們有
這說明了，對偶運算不僅對於向量空間有定義，對於向量空間間的線形對映也定義良好。這種結構被我們稱為“反變函子”（具體地講，是從有限維 向量空間範疇 到自身的一個反變函子）。
如果我們再次進行取對偶的構造，我們會獲得一個從 到自身的一個（協變）函子。線形代數中，我們證明了下面這個定理：有限維 向量空間與其雙重對偶空間自然同構。這裡的自然同構在範疇論裡有更加精確的表述：存在 自函子範疇裡的一個自然變換 ，使其為自函子間的同構。線上性代數中，我們顯式地給出了這個自然同構的構造：對於任意 向量空間 ， 把任意向量 送到 ，使得對於任意 ， . 當 維數有限時，這是一個向量空間的同構（考慮維數證明）。
現在，考慮對偶與轉置的關係。和上面一樣，取 為有限維 向量空間間的線性變換。我們給 取一組基 ，給 取一組基 。那麼我們有一個同構
記號 表示 在 的基 和 的基 下的矩陣表示。取 和 各自的對偶基： 和 （第 個對偶基中的元素作用在原來基的第 個元素上的值是 ；它們也是對偶空間的基），那麼我們同樣有
把兩個同構和取對偶結合起來，我們得到了一個從 到 的一個（線形）對映（事實上是一個同構）：
而這個對映，就是矩陣的轉置。
證明：
對於任意 ，作為某個線性對映 （其中 ， ）在對應基 下的矩陣表示。那麼 在對偶基 下的矩陣表示為 。我們有
和 ，所以
對於任意 ，我們有
所以 . 證畢
正如矩陣可以從（有限維向量空間的）線性變換理解，理解矩陣轉置也可以從線性變換的對偶來理解。為此，我們先回顧一下一些基本的概念：
我們考慮任意域 上的任意兩個有限維向量空間 ，我們把從 到 的所有線性變換構成的集合記為 。由標準的線性代數，我們知道這個集合上有自然的 向量空間的結構，且維數為 。特別地，當 ，我們把 記為 ， 的對偶空間，同時 與 維數相等。 的元素都是從 到 的線形對映（有時候叫做線性泛函）。
取對偶空間有著更深層次的結構：假設 是一個線形對映。那麼，這對應了唯一一個從 到 的線形對映 。它的作用如下：對於任意 ， . 換言之，它透過左結合把 上的線形泛函“拉回”到 上：
（提示：我們這裡用星號表示取對偶，因此 不是 的伴隨對映；當然，我們這裡根本沒有內積結構。後面我們會提到兩者之間的關係。）
下面兩個結論也成立（證明是標準線代習題）：
對於任意 向量空間 的恆等對映 ，我們有
對於任意 向量空間 間的對映 ， ，我們有
這說明了，對偶運算不僅對於向量空間有定義，對於向量空間間的線形對映也定義良好。這種結構被我們稱為“反變函子”（具體地講，是從有限維 向量空間範疇 到自身的一個反變函子）。
如果我們再次進行取對偶的構造，我們會獲得一個從 到自身的一個（協變）函子。線形代數中，我們證明了下面這個定理：有限維 向量空間與其雙重對偶空間自然同構。這裡的自然同構在範疇論裡有更加精確的表述：存在 自函子範疇裡的一個自然變換 ，使其為自函子間的同構。線上性代數中，我們顯式地給出了這個自然同構的構造：對於任意 向量空間 ， 把任意向量 送到 ，使得對於任意 ， . 當 維數有限時，這是一個向量空間的同構（考慮維數證明）。
現在，考慮對偶與轉置的關係。和上面一樣，取 為有限維 向量空間間的線性變換。我們給 取一組基 ，給 取一組基 。那麼我們有一個同構
記號 表示 在 的基 和 的基 下的矩陣表示。取 和 各自的對偶基： 和 （第 個對偶基中的元素作用在原來基的第 個元素上的值是 ；它們也是對偶空間的基），那麼我們同樣有
把兩個同構和取對偶結合起來，我們得到了一個從 到 的一個（線形）對映（事實上是一個同構）：
而這個對映，就是矩陣的轉置。
證明：
對於任意 ，作為某個線性對映 （其中 ， ）在對應基 下的矩陣表示。那麼 在對偶基 下的矩陣表示為 。我們有
和 ，所以
對於任意 ，我們有
所以 . 證畢