先說結論：無論如何，它們都必須相等。因為 和 指的是同一個有理數，即使你把這個有理數寫成 ，它仍然是一個確定的有理數 。而 的 次方應當是良定義的，即不會因為你把 寫成不同形式而發生值的變化。
高中數學回避這個問題，因為這個問題在實數域上的確不好解釋。如果讀者還沒有學過複數或者複分析，那麼這個問題只能這麼回答：在實數域上對 進行平方後， 的一些性質丟失了，導致我們並不能辨別是 在開三次方還是 在開三次方。
下為原答案，供學過相關知識，或沒學過但有興趣的讀者參考。
首先， 的輻角除了主值外，還有 ，在開三次方時，輻角變為原來的 ，容易發現這些輻角可以歸納成 三種類別，而輻角相差 整數倍的兩個模相同的複數實際上就是一個複數，因此我們說 有三個三次方根，其中當輻角取最後一類，也即 的時候，得到的是一個負實數，即 。我們說 的三次方根時通常特指 ，並將這個值稱作 三次方根的主值。
可以看到，用複數開方的定義處理這個問題，得到的結果是完全一致的。但我們按照 來計算一個實數的方根時就會算得 。這是因為在複數域中計算 的平方時，結果雖為 ，但其輻角是有明確限制的，即 。但在實數域中計算時，由於沒有輻角這一性質，算得的 實際上是複數域中所有輻角為 的 。這時候將輻角除以 後就會得到 個輻角不同的複數，其中有 六次方根的主值 。換句話講，在實數域中進行平方使我們無法分辨 和 的區別，計算得出的 來源於 而不是 。
那麼怎麼解決這個問題呢？有兩種方式，一種就是把視角拓展到複數域，用複數開方的定義，對輻角進行討論來開方（然後取主值），這時候得到的結果都是 ；另一種方式則是要求實數的有理數次冪的分數形式必須先化為既約分數，然後按照 進行計算，這樣的結果也是 。無論如何，由於 ，兩者指代的是同一個有理數，而一個數的若干次冪必須是良定義的（不能有兩個值）， 的 次冪也好 次冪也好必須是 而不是 （在取主值的意義下）。
原因就是當我們求 的時候，輻角也變為了 倍。由於正實數的輻角主值為零，故 次冪後仍有一個輻角為零的值，而這就是我們常取的主值，它仍然是個正實數。
但對負實數來說，輻角變為 倍後，新的輻角集合中就未必有一部分輻角會落在實軸上了，這時候人為地規定一個主值就比較困難。一個特例是 ，這時候 的輻角變為 ，即得到一個負實數。
更進一步，如果 是無理數，不難證明 的所有輻角經過 倍變換後在忽略 的整數倍的意義下也兩兩不等。這意味著 有無窮多個值，而這些值甚至在一個圓周上稠密。而且一般說來，這些無窮多個值的輻角主值和 都不相等，但卻可以任意接近，這使得討論複數的無理數次冪是沒什麼價值的（因為你甚至不能確定一個主值），只有正實數的輻角主值為零，才會例外地得到一個可以定義的值。
先說結論：無論如何，它們都必須相等。因為 和 指的是同一個有理數，即使你把這個有理數寫成 ，它仍然是一個確定的有理數 。而 的 次方應當是良定義的，即不會因為你把 寫成不同形式而發生值的變化。
高中數學回避這個問題，因為這個問題在實數域上的確不好解釋。如果讀者還沒有學過複數或者複分析，那麼這個問題只能這麼回答：在實數域上對 進行平方後， 的一些性質丟失了，導致我們並不能辨別是 在開三次方還是 在開三次方。
下為原答案，供學過相關知識，或沒學過但有興趣的讀者參考。
首先， 的輻角除了主值外，還有 ，在開三次方時，輻角變為原來的 ，容易發現這些輻角可以歸納成 三種類別，而輻角相差 整數倍的兩個模相同的複數實際上就是一個複數，因此我們說 有三個三次方根，其中當輻角取最後一類，也即 的時候，得到的是一個負實數，即 。我們說 的三次方根時通常特指 ，並將這個值稱作 三次方根的主值。
可以看到，用複數開方的定義處理這個問題，得到的結果是完全一致的。但我們按照 來計算一個實數的方根時就會算得 。這是因為在複數域中計算 的平方時，結果雖為 ，但其輻角是有明確限制的，即 。但在實數域中計算時，由於沒有輻角這一性質，算得的 實際上是複數域中所有輻角為 的 。這時候將輻角除以 後就會得到 個輻角不同的複數，其中有 六次方根的主值 。換句話講，在實數域中進行平方使我們無法分辨 和 的區別，計算得出的 來源於 而不是 。
那麼怎麼解決這個問題呢？有兩種方式，一種就是把視角拓展到複數域，用複數開方的定義，對輻角進行討論來開方（然後取主值），這時候得到的結果都是 ；另一種方式則是要求實數的有理數次冪的分數形式必須先化為既約分數，然後按照 進行計算，這樣的結果也是 。無論如何，由於 ，兩者指代的是同一個有理數，而一個數的若干次冪必須是良定義的（不能有兩個值）， 的 次冪也好 次冪也好必須是 而不是 （在取主值的意義下）。
原因就是當我們求 的時候，輻角也變為了 倍。由於正實數的輻角主值為零，故 次冪後仍有一個輻角為零的值，而這就是我們常取的主值，它仍然是個正實數。
但對負實數來說，輻角變為 倍後，新的輻角集合中就未必有一部分輻角會落在實軸上了，這時候人為地規定一個主值就比較困難。一個特例是 ，這時候 的輻角變為 ，即得到一個負實數。
更進一步，如果 是無理數，不難證明 的所有輻角經過 倍變換後在忽略 的整數倍的意義下也兩兩不等。這意味著 有無窮多個值，而這些值甚至在一個圓周上稠密。而且一般說來，這些無窮多個值的輻角主值和 都不相等，但卻可以任意接近，這使得討論複數的無理數次冪是沒什麼價值的（因為你甚至不能確定一個主值），只有正實數的輻角主值為零，才會例外地得到一個可以定義的值。