三維向量外積（即矢積、叉積）可以用幾何方法證明；也可以借用外積的反對稱性、內積的分配律和混合積性質，以代數方法證明。
下面把向量外積定義為：a × b = |a|·|b|·Sin<a, b>
我們假定已經知道了：a × b = - b × a
內積（即數積、點積）的分配律：a·(b + c) = a·b + a·c；(a + b)·c = a·c + b·c
這由內積的定義a·b = |a|·|b|·Cos<a, b>，用投影的方法不難得到證明。
混合積的性質：定義(a×b)·c 為向量a, b, c的混合積，容易證明：
(a×b)·c 的絕對值正是以a, b, c為三條鄰稜的平行六面體的體積，其正負號由a, b, c的定向決定（右手係為正，左手係為負）。
從而就推出：ii) (a×b)·c = a·(b×c)
所以我們可以記a, b, c的混合積為(a, b, c).
由i 還可以推出：iii) (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b)
若一個向量a 同時垂直於三個不共面矢a1, a2, a3，則a 必為零向量。
設r 為空間任意向量，在r·(a×(b + c))裡，交替兩次利用和數積分配律，就有 r·(a×(b + c)
= (r×a)·(b + c)
= (r×a)·b + (r×a)·c
= r·(a×b) + r·(a×c)
= r·(a×b + a×c)
移項，再利用數積分配律，得
r·(a×(b + c) - (a×b + a×c)) = 0
這說明向量a×(b + c) - (a×b + a×c) 垂直於任意一個向量。按3) 的iv) ，這個向量必為零向量，即：a×(b + c) - (a×b + a×c) = 0
所以有：a×(b + c) = a×b + a×c.
證畢。
向量積：數學中又稱外積、叉積，物理中稱矢積、叉乘，是一種在向量空間中向量的二元運算。與點積不同，它的運算結果是一個向量而不是一個標量。並且兩個向量的叉積與這兩個向量和垂直。其應用也十分廣泛，通常應用於物理學光學和計算機圖形學中。
向量積可以被定義為：
方向：a向量與b向量的向量積的方向與這兩個向量所在平面垂直，且遵守右手定則。（一個簡單的確定滿足“右手定則”的結果向量的方向的方法是這樣的：若座標系是滿足右手定則的，當右手的四指從a以不超過180度的轉角轉向b時，豎起的大拇指指向是c的方向。）
向量積|c|=|a×b|=|a| |b|sin<a,b>
即c的長度在數值上等於以a，b，夾角為θ組成的平行四邊形的面積。
而c的方向垂直於a與b所決定的平面，c的指向按右手定則從a轉向b來確定。
拉格朗日公式，這是一個著名的公式，而且非常有用：
(a×b)×c=b(a·c) -a(b·c)
a× (b×c) =b(a·c) -c(a·b),
三維向量外積（即矢積、叉積）可以用幾何方法證明；也可以借用外積的反對稱性、內積的分配律和混合積性質，以代數方法證明。
下面把向量外積定義為：a × b = |a|·|b|·Sin<a, b>
我們假定已經知道了：a × b = - b × a
內積（即數積、點積）的分配律：a·(b + c) = a·b + a·c；(a + b)·c = a·c + b·c
這由內積的定義a·b = |a|·|b|·Cos<a, b>，用投影的方法不難得到證明。
混合積的性質：定義(a×b)·c 為向量a, b, c的混合積，容易證明：
(a×b)·c 的絕對值正是以a, b, c為三條鄰稜的平行六面體的體積，其正負號由a, b, c的定向決定（右手係為正，左手係為負）。
從而就推出：ii) (a×b)·c = a·(b×c)
所以我們可以記a, b, c的混合積為(a, b, c).
由i 還可以推出：iii) (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b)
若一個向量a 同時垂直於三個不共面矢a1, a2, a3，則a 必為零向量。
設r 為空間任意向量，在r·(a×(b + c))裡，交替兩次利用和數積分配律，就有 r·(a×(b + c)
= (r×a)·(b + c)
= (r×a)·b + (r×a)·c
= r·(a×b) + r·(a×c)
= r·(a×b + a×c)
移項，再利用數積分配律，得
r·(a×(b + c) - (a×b + a×c)) = 0
這說明向量a×(b + c) - (a×b + a×c) 垂直於任意一個向量。按3) 的iv) ，這個向量必為零向量，即：a×(b + c) - (a×b + a×c) = 0
所以有：a×(b + c) = a×b + a×c.
證畢。
向量積：數學中又稱外積、叉積，物理中稱矢積、叉乘，是一種在向量空間中向量的二元運算。與點積不同，它的運算結果是一個向量而不是一個標量。並且兩個向量的叉積與這兩個向量和垂直。其應用也十分廣泛，通常應用於物理學光學和計算機圖形學中。
向量積可以被定義為：
方向：a向量與b向量的向量積的方向與這兩個向量所在平面垂直，且遵守右手定則。（一個簡單的確定滿足“右手定則”的結果向量的方向的方法是這樣的：若座標系是滿足右手定則的，當右手的四指從a以不超過180度的轉角轉向b時，豎起的大拇指指向是c的方向。）
向量積|c|=|a×b|=|a| |b|sin<a,b>
即c的長度在數值上等於以a，b，夾角為θ組成的平行四邊形的面積。
而c的方向垂直於a與b所決定的平面，c的指向按右手定則從a轉向b來確定。
拉格朗日公式，這是一個著名的公式，而且非常有用：
(a×b)×c=b(a·c) -a(b·c)
a× (b×c) =b(a·c) -c(a·b),