二元一次不定方程的通解
七年級下冊學習了二元一次方程組,
有一類題是求二元一次方
程的整數解的問題,這在數學上有一專門名稱叫做“不定方程”
。
如下題:
二元一次方程
x+2y=6
的正整數解的個數是(
)
A.4
個
B. 3
C.2
D.1
初中階段這個問題,都是用的“列舉法”
。但是為了防止遺
漏,
我們現在要系統解決這個問題,
就需要研究二元不定方程的
通解。
當我們透過觀察找出了該方程的一對特解
x=x
0
y=y
後,
就可以寫出該方程的所有解了。
∵
ax+by=c
„„①
ax
+by
=c
„„②
①
-
② ∴
a
(
x-x
+b
y-y
=0
即
=b(y
-y)
設
、
b
互質,
那麼,
必含因子
,
y
-y
∴
=kb
-y=ka
(k∈Z)
∴不定方程的通解為
+bky=y
-ak
k
∈
Z
以上題為例,
觀察得到方程
的一對特解為
x=2y=2
則該方程的通解為
x=2+2ky=2-k
二元一次不定方程的通解
七年級下冊學習了二元一次方程組,
有一類題是求二元一次方
程的整數解的問題,這在數學上有一專門名稱叫做“不定方程”
。
如下題:
二元一次方程
x+2y=6
的正整數解的個數是(
)
A.4
個
B. 3
個
C.2
個
D.1
個
初中階段這個問題,都是用的“列舉法”
。但是為了防止遺
漏,
我們現在要系統解決這個問題,
就需要研究二元不定方程的
通解。
當我們透過觀察找出了該方程的一對特解
x=x
0
y=y
0
後,
就可以寫出該方程的所有解了。
∵
ax+by=c
„„①
ax
0
+by
0
=c
„„②
①
-
② ∴
a
(
x-x
0
)
+b
(
y-y
0
)
=0
即
a
(
x-x
0
)
=b(y
0
-y)
設
a
、
b
互質,
那麼,
x-x
0
必含因子
b
,
y
0
-y
必含因子
a
。
∴
x-x
0
=kb
,
y
0
-y=ka
(k∈Z)
∴不定方程的通解為
x=x
0
+bky=y
0
-ak
(
k
∈
Z
)
以上題為例,
觀察得到方程
x+2y=6
的一對特解為
x=2y=2
,
則該方程的通解為
x=2+2ky=2-k
(