二元一次不定方程的通解

七年級下冊學習了二元一次方程組，

有一類題是求二元一次方

程的整數解的問題，這在數學上有一專門名稱叫做“不定方程”

。

如下題：

二元一次方程

x+2y=6

的正整數解的個數是（

）

A.4

個

B. 3

個

C.2

個

D.1

個

初中階段這個問題，都是用的“列舉法”

。但是為了防止遺

漏，

我們現在要系統解決這個問題，

就需要研究二元不定方程的

通解。

當我們透過觀察找出了該方程的一對特解

x=x

0

y=y

0

後，

就可以寫出該方程的所有解了。

∵

ax+by=c

„„①

ax

0

+by

0

=c

„„②

①

-

② ∴

a

（

x-x

0

）

+b

（

y-y

0

）

=0

即

a

（

x-x

0

）

=b(y

0

-y)

設

a

、

b

互質，

那麼，

x-x

0

必含因子

b

，

y

0

-y

必含因子

a

。

∴

x-x

0

=kb

，

y

0

-y=ka

（k∈Z）

∴不定方程的通解為

x=x

0

+bky=y

0

-ak

（

k

∈

Z

）

以上題為例，

觀察得到方程

x+2y=6

的一對特解為

x=2y=2

，

則該方程的通解為

x=2+2ky=2-k

（