我是一名初中數學老師，無理數是初中數學中的一個概念。我來回答這個問題。

我將從以下幾個方面回答這個問題：

1.無理數是怎樣被發現的？

2.什麼是無理數？

3.怎樣證明無理數不同於有理數？

4.什麼樣的數是無理數？

一、無理數的產生

據說，古希臘的畢達哥拉斯學派的一個青年叫希帕蘇斯（公元前4世紀左右），首先發現了正方形的對角線之比不能用整數之比表示。即根號2不是分數。畢達哥拉斯學派的基本觀點是“萬物皆數”。即萬事萬物都可以用正整數或正整數之比來表示。由於希帕蘇斯的發現與學派的“真理”相牴觸。因而，引起學派內部的恐慌。於是希帕蘇斯被這個學派的其他成員拋入大海中淹死了。這就是數學史上的“第一次數學危機”。

很快，人們還認識了許多不能用分數表示的數。如根號3，三角函式表、對數表中的許多數。這類數叫人難以理解。但它又真實的存在著。於是就叫它為“無理數”。無理數是地地道道的數呢?還是某種神秘之物，數學卷為此爭論了兩千多年之久。

到16世紀，即第一個無理數根號2產生了兩千年之後，大多數人才承認無理數也是數。19世紀，實數理論建立後，人們才從邏輯上把無理數說清楚，根號2之謎才得以解開。第一次數學危機過去了。

二、何為無理數

無限不迴圈小數叫無理數。而有理數是有限小數或無限迴圈小數。分數與有限小數或無限迴圈小數可以互化。可以說分數就是有理數。所以，無理數不是分數。

三、證明無理數不是有理數

四、什麼是無理數

1.首先，無理數是一種真實存在的數。不能簡單的理解為是無限個有理數的組成。因為無限個無理數不一定組合成無理數。

2.學了無理數後，常常需要我們去判斷一個數是否是無理數。而判斷一個數是否是無理數從定義去判斷是很困難的。比如有同學誤認為22/7是無理數。分析原因，是因為學生將其化為小數時，用22除以7，計算到小數點的第五位、第六位時，發現總除不盡，且又不迴圈。（而實際上它的迴圈節較長，有六位。要到第七位才開始迴圈）。所以，就妄下結論。

3.怎麼判斷一個數是不是無理數呢？

從以下三個方面判斷，或者說無理數有以下三種表現形式：

(1)帶根號且開方開不盡的數；

(2)結果含有特殊常數(比如π)的數；

(3)特殊結構的數，比如：3.2020020002....(相鄰的兩個2之間依次多一個0)。

現在好多教材都講道“無限不迴圈小數即為無理數”這固然是正確的，但從便於理解的角度講，還是把無理數說成是非比例數比較好，與之對應的就是有理數（比例數）。

這樣一來符合數學史，二來也可以無形中解決好多困惑，這樣就不必為判斷一個比較大的分數化成小數之後迴圈節在哪裡而發愁了，分數顯然是有理數。

1、開方開不盡的數。

2、特殊常數，如圓周率π，自然對數底e。

3、明顯有規律但確實無限不迴圈的數比如0.101001000100001..........

通常的思路是反證法，請思考一個問題如何證明根號2＋根號3是無理數。

那就是無理數填補了有理數的“空隙”。

一個無理數是數軸上真實存在並且固定的點，但是無法表示為兩個整數的比值，也無法用有限的小數表示。

所謂的無限不迴圈小數，其實就是一組有限小陣列成的基本列，例如 π＝{3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...}，這個基本列的極限就是一個無理數，但是由於有理數集不完備，所以這個極限不在有理數集內。

與之相比是無限迴圈小數，例如 1＝{0, 0.9, 0.99, 0.999, ...}，它也是一個基本列，不過幸運的是，它的極限落在了有理數集內。

我們可以用有限代數式精確的表示一些無理數，例如 √2、³√7、(√5-1)/2。但不是所有的無理數都可以用有限的代數式表示，例如：e＝lim_{n→∞} (1＋1/n)^n＝1＋1/1！＋2/2！＋3/3！＋... 、π＝4(1-1/3＋1/5－1/7＋...)，這些無理數稱為超越數。